【Undermath】三角函数全解
Part 0. 前言与前置知识
前言：
三角函数 是 基本初等函数 之一，是以 角度 （数学上最常用 弧度制 ，下同）为自变量，角度对应任意角终边与 单位圆 交点坐标或其比值为 因变量 的函数。也可以等价地用与 单位圆 有关的各种线段的长度来定义。
三角函数在研究 三角形和圆 等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具，在 三角学和解析几何 中起举足轻重的作用。在数学分析中，三角函数也被定义为 无穷级数或特定微分方程 的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是 复数值 。
常见的三角函数包括 正弦函数 、 余弦函数 和 正切函数 。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如 余切函数 、 正割函数 、 余割函数 、 正矢函数 、 余矢函数 、 半正矢函数 、 半余矢函数 等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为 三角恒等式 。
本文学习内容包括：
1. 三角函数的发展历史
2. 三角函数的定义
3. 反、双曲三角函数的定义
4. 诱导公式与相位
5. 三角恒等式与相关公式、定理
6. 三角函数与高等数学
7. 三角函数的应用
8. 其他
9. 结语
前置知识：
代数（琴生不等式）、解析几何（斜率）、函数（反函数、多值函数、分段函数、隐函数、标准双曲线）、微积分（导数、积分、极限、泰勒展开、帕德逼近、洛朗级数、解析延拓）、线性代数（向量）、集合论（域）
PS：没有掌握以上知识阅读本文有一定难度
Part 1. 三角函数的发展历史
起源
公元五世纪到十二世纪， 印度数学家 对 三角学 作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是 天文学 的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。
三角学中” 正弦 ”和” 余弦 ”的概念就是由 印度数学家 首先引进的，他们还造出了比 托勒密 更精确的 正弦表 。
托勒密 和 希帕克 造出的弦表是圆的全弦表，它是把 圆弧同弧所夹的弦对应起来 的。 印度数学家 不同，他们把 半弦 与 全弦 所对弧的一半相对应，这样，他们造出的就不再是” 全弦表 ”，而是” 正弦表 ”了。
印度人称连结 弧 的两端的 弦 为” 吉瓦 ”，是” 弓弦 ”的意思；称 弦 的一半为” 阿尔哈吉瓦 ”。后来” 吉瓦 ”这个词译成阿拉伯文时被误解为” 弯曲 ”、” 凹处 ”。十二世纪， 阿拉伯文 被转译成 拉丁文 ，这个字被意译成了” sinus ”。
古希腊历史
早期对于三角函数的研究可以追溯到古代。 古希腊三角术 的奠基人是公元前2世纪的 喜帕恰斯 。他按照 古巴比伦人 的做法，将圆周分为 360等份 （即圆周的弧度为360度，与现代的 弧度制 不同）。对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是 等价 的。 喜帕恰斯 实际上给出了最早的三角函数数值表。然而古希腊的三角学基本是 球面三角学 。这与 古希腊人 研究的主体是 天文学 有关。 梅涅劳斯 在他的著作《 球面学 》中使用了正弦来描述 球面 的 梅涅劳斯定理 。古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的 托勒密时代 达到了高峰， 托勒密在 《 数学汇编 》（ Syntaxis Mathematica ）中计算了 36 度角和 72 度角的正弦值，还给出了计算 和角公式 和 半角公式 的方法。托勒密还给出了所有 0~180 度的 所有整数 和 半整数弧度 对应的 正弦值 。
古希腊文化 传播到 古印度 后， 古印度人 对三角术进行了进一步的研究。公元5世纪末的数学家 阿耶波多 提出用弧对应的弦长的一半来对应半弧的正弦，这个做法被后来的古印度数学家使用，和现代的正弦定义一致了。 阿耶波多 的计算中也使用了 余弦 和 正割 。他在计算弦长时使用了不同的单位，重新计算了 0~90 度中间隔三又四分之三度
阿拉伯历史
进入15世纪后， 阿拉伯 数学文化开始传入欧洲。随着欧洲商业的兴盛，航行、历法测定和地理测绘中出现了对三角学的需求。在翻译阿拉伯数学著作的同时， 欧洲数学家 开始制作更详细精确的三角函数值表。 哥白尼 的学生 乔治·约阿希姆·瑞提克斯 制作了间隔10秒
18世纪开始，随着 解析几何 等分析学工具的引进，数学家们开始对三角函数进行分析学上的研究。 牛顿 在1669年的《 分析学 》一书中给出了正弦和余弦函数的 无穷级数 表示。 Collins 将 牛顿 的结果告诉了 詹姆斯·格列高里 ，后者进一步给出了正切等三角函数的无穷级数。 莱布尼兹 在1673年左右也独立得到了这一结果。 欧拉 的《 无穷小量分析引论 》（ Introductio in Analysin Infinitorum ）对建立三角函数的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了 欧拉公式 ，还有使用接近现代的简写 sin. cos. tang. cot. sec. 和 cosec. 。
弦表的发明
根据认识， 弦表 的制作似应该是由一系列不同的角出发，去作一系列直角三角形，然后一一量出AC，A’C’，A’’C’’…之间的距离。然而，第一张弦表制作者 希腊 文学家 希帕克 （ Hipparchus ，约前180~前125）不是这样作，他采用的是在同一个 固定的圆内 ，去计算给定度数的圆弧AB所对应的弦AB的长。这就是说， 希帕克 是靠计算，而不是靠工具量出弦长来制表的，这正是他的卓越之处。 希帕克 的原著早已失传，关于 希帕克 在三角学上的成就，是从公元二世纪希腊著名天文学家 托勒密 的遗著《 天文集 》中得到的。虽然 托勒密 说他的这些成就出自 希帕克 ，但事实上不少是他自己的创造。
据 托勒密 书中记载，为了度量圆弧与弦长，他们采用了 巴比伦人 的60进位法。把 圆周360等分 ，把它的半径60等分，在圆周和半径的每一等分中再等分60份，每一小份又等分为60份，这样就得出了 托勒密 所谓的第一小份和第二小份。很久以后， 罗马人 把它们分别取名为” partes minutae primae ”和” partes minutae secundae ”；后来，这两个名字演变为” minute ”和” second ”，成为角和时间的度量上” 分 ”和” 秒 ”这两个单位得起源。
建立了半径与圆周的度量单位以后， 希帕克 和 托勒密 先着手计算一些特殊圆弧所对应的弦长。比如
传入中国
三角学输入中国，开始于 明崇祯4年 （公元1631年），这年 邓玉函 、 汤若望 和 徐光启 合编《 大测 》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是中国第一部编译的三角学。在《 大测 》中，首先将 sine 译为” 正半弦 ”，简称” 正弦 ”，这就成了“ 正弦 ”一词的由来。
Part 2. 三角函数的定义
锐角三角函数的定义
任意角三角函数的定义
《新概念几何》的定义方式
Part 3. 反、双曲三角函数的定义
反三角函数的定义
双曲三角函数的定义
反双曲三角函数的定义
Part 4. 诱导公式与相位
三角函数的图像性质及性质
函数：
对称轴：
对称中心：
函数：
对称轴：
对称中心：
函数：
对称轴： 无
对称中心：
函数：
对称轴：无
对称中心：
函数：
对称轴：
对称中心：
函数：
对称轴：
对称中心：
诱导公式
推导方法
- 定名法则