黎曼可积性与连续性的关系

LWLAymh · 2024-12-11 08:58:38 · 学习·文化课

我们还可以进一步探索黎曼可积和连续性的关系,例如,我们可以证e明:\forall f\in R[a,b],\forall \epsilon>0,\exists g\in C[a,b] \int_a^b |f(x)-g(x)|\text d x<\epsilon.

如何证明呢?感觉上只需要用分段线性函数去逼近一下就可以了对吧.所以我们考虑对于划分\Delta,直接把所有的(x_i,f(x_i))连起来形成一个分段线性函数.然后观察此时的|f-g|,不妨分段考虑,对于\int_{x_{i-1}}^{x_i}(f-g)(x)\text d x\leq (M_i-m_i)\Delta x_i,而后者求和之后实际上就是\overline S-\underline S,当f可积的时候这个当然会趋近于0.

我们还可以证明f\in R[a,b]的连续点在[a,b]上稠密,只需要证明\forall [\alpha,\beta]\in R[a,b],\alpha<\beta,[\alpha,\beta]这个区间内存在连续点即可.考虑定义一点处的振幅w_{f}(x_0)=\lim_{\delta\to +0}w_f(x_0-\delta,x_0+\delta),这个随着\delta缩小当然应当是单调变化的,因此一定有非负极限(但可能是无穷大).我们注意到f在x_0处连续的充要条件是f在x_0处的振幅为0.必要性和充分性都容易证明.

我们考虑用区间套来找到这个连续点,考虑对于[\alpha_0,\beta_0]\in [a,b],取分划\Delta_0使得\sum w_i\Delta x_i<\frac{1}{2}(\beta_0-\alpha_0),并且加细使得\lambda(\Delta_0)<\frac{1}{2}(\beta_0-\alpha_0),此时考虑由于\sum \Delta x_i=\beta_0-\alpha_0,所以一定存在一个w_i<\frac{1}{2},拿出这个区间作为[\alpha_1,\beta_1],则区间长度至少折半,并且只需在上述对[\alpha_n,\beta_n]时取\sum w_i\Delta x_i<\frac{1}{2^{n+1}}(\beta_0-\alpha_0)就可以使得w_i也趋近于0,这样就能用区间套找到一个点使得它是连续点.

事实上可以证明一个函数黎曼可积的充分必要条件是其有界并且几乎处处连续.

为了方便不妨把f延拓到整个实轴,令f(x)=\begin{cases}f(a)&x\leq a\\f(b)&x\geq b\\f(x)&otherwise\end{cases}.

下面定义E_r=\{x_0\mid w_f(x_0)\geq \frac{1}{r}\}.我们考虑证明其是闭集,也就是证明其补集E_r^c=\{x_0\in (a,b)\mid w_f(x_0)<\frac{1}{r}\}是开集.如果x_0\in E_r^c,注意到此时\exists \delta>0,w_f(x_0-\delta,x_0+\delta)<\frac{1}{r},那么这必然意味着x_0邻域中的点的振幅也会<\frac{1}{r},这当然意味着其是开集.

令D是f的间断点集,容易见到D=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n,下面只需要证明每个E_n都是零测集即可.

先证明必要性:当f\in R[a,b]时,则f有界,现在对于固定的m,尝试证明E_m是零测的,由达布定理,\forall epsilon>0,\exists \Delta,使得\sum w_i\Delta x_i=\overline S_\Delta-\underline S_\Delta<\epsilon.

观察前者,注意到:

因此\sum_{E_m\cap (x_{k-1},x_k)}\Delta x_k<m\epsilon,由于m一开始就固定,\epsilon可以尽量小,所以这意味着E_m是零测集.必要性得证.

再证明充分性:当每一个E_m都是零测集的时候,\forall \epsilon>0,取r\in N_+,r>\frac{1}{\epsilon}.此时见到E_{r}^c是开集,那它可以写成若干两两不交开区间的并,不妨记作E_r^c=\bigcup_{k=1}^{\infty}T_k.由于此时E_m是零测集,这意味着\sum |T_k|=b-a.接下来可以取足够大的n使得\sum_1^n |T_k|>b-a-\frac{\epsilon}{2},接下来取T_k的闭子区间J_k,使得\sum_1^n |J_k|>b-a-\epsilon.这里为什么要把开区间再进一步缩成闭区间呢?原因是你这里如果直接用开区间构造分划可能会把端点处给包进去,因此我们不得不设其端点处的一部分值拿到闭区间,这样那些振幅较大的就被舍弃了.

接下来考虑由于每个点x_0\in J_k的w_f(x_0)<\frac{1}{r}<\epsilon,必定有其一个小邻域(x_0-\delta,x_0+\delta)满足整个邻域的振幅<\epsilon,用有限覆盖定理拿出一个开覆盖,然后缩掉这些开覆盖的区间就能拿到一个J_k的分划(或者干脆将这些开区间的端点和J_k的端点直接当作一个分划),把这些分划全都并起来就得到了一个划分\Delta.

此时观察这个划分,应当有:

这样就可以使其任意小.