常微分方程（1）

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1 基本概念

1.1 例子与定义

1.1.1 物理与几何实例

Example 1: 二体问题

条件：

运动方程：

\begin{aligned} m_1 \ddot{x}_1 &= \frac{x_2 - x_1}{r} |F| \\ m_1 \ddot{y}_1 &= \frac{y_2 - y_1}{r} |F| \\ m_2 \ddot{x}_2 &= \frac{x_1 - x_2}{r} |F| \\ m_2 \ddot{y}_2 &= \frac{y_1 - y_2}{r} |F| \end{aligned}

注：后续将进一步探讨此问题的求解方法。

Example 2: 最速降线问题

背景：求小球在重力作用下无摩擦地从固定起点滚动到固定终点所需时间最短的轨迹。

推导： 由能量守恒：\dfrac{1}{2} m v(x)^2 = m g (h - y(x))

时间泛函：

T[y] = \int_0^l \frac{ds}{v(x)} = \int_0^l \frac{\sqrt{1 + y'(x)^2}}{\sqrt{2g(h - y(x))}} \, dx

注：可通过光学类比或变分法求解，详见相关文献（如变分法文章）。

Example 3: 椭球面上的最短路径

背景：求椭球面上给定两点间的最短路径。

（此处略去具体讨论）

Example 4: 透镜设计问题

背景：求能将平行光汇聚于一点的透镜表面形状。

可根据折射定律列方程求解。

Example 5: 飞蛾扑火问题

背景：飞蛾始终朝向点光源运动，求其运动轨迹。

（此为简单问题，略去详细讨论）

Example 6: 狗追兔子问题

背景：兔子以速率 v 作匀速直线运动，狗以相同速率 v 且始终朝向兔子运动，初始位置不共线。

可通过建立微分方程求解。

Example 7: 人口模型

  1. Malthus模型：

    \frac{P'(t)}{P} = r

  2. Logistic模型：

    \frac{P'}{P} = r - sP

1.1.2 微分方程的基本定义

Definition 1: 常微分方程的一般形式

1.1.3 方程的化简方法

Method 1: 高阶化为一阶

对于高阶方程，如：

y'' + y = 0

令 y_1 = y,\ y_2 = y'，则原方程化为：

\begin{cases} y_1' = y_2 \\ y_2' = -y_1 \end{cases}

一般地，可通过引入新变量将 n 阶方程化为 n 个一阶方程。

Method 2: 隐式化为显式

目标形式：

y_i' = f_i(x, y),\quad i = 1, 2, \dots, n

其中 y = (y_1, y_2, \dots, y_n)。

Method 3: 非自治化为自治

Definition 2: 自治系统
若 y_i' = f_i(x, y) 中 f_i 不显含 x，则称为自治系统；否则称为非自治系统。

自治化方法：
引入新变量 y_{n+1} = x，并增加方程 y_{n+1}' = 1，则系统化为：

y_i' = f_i(y),\quad i = 1, 2, \dots, n+1

其中 y = (y_1, y_2, \dots, y_{n+1})。

1.1.4 微分方程的解

Definition 3: 微分方程的解

设 \Omega \subseteq \mathbb{R}^n 为区域，I \subseteq \mathbb{R} 为区间，f_i: \Omega \times I \to \mathbb{R} 满足适当条件。考虑方程组：

\frac{dy_i}{dx} = f_i(x, y),\quad i = 1, 2, \dots, n

若存在子区间 J \subseteq I 及映射 \varphi: J \to \Omega，x \mapsto (\varphi_1(x), \varphi_2(x), \dots, \varphi_n(x))，使得：

\frac{d\varphi_i}{dx} = f_i(x, \varphi(x)),\quad i = 1, 2, \dots, n

则称 \varphi 为方程组的一个解。

注：n 阶方程的通解通常含有 n 个任意常数。

1.1.5 解的实例

Example 1.1：

y' = f(x) \quad \Rightarrow \quad y = \int_{x_0}^x f(\xi) \, d\xi + C

若给定初值条件 y(x_0) = y_0，则解唯一。

Example 1.2：

y' = ry \quad \Rightarrow \quad y(x) = y_0 e^{rx}

Example 1.3：

y'' + y = 0 \quad \Rightarrow \quad y(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x

解空间为 \mathbb{R}^2。

Example 1.4：

y'' + 3yy' + y^3 = 0

可验证 y(x) = \dfrac{p'(x)}{p(x)} 是解，其中 p(x) 为任意二次多项式。解集构成一个流形。

一般地，微分方程的解集常具有流形结构。

1.2 几何解释

考虑自治系统：

\frac{dy_i}{dt} = f_i(y),\quad i = 1, 2, \dots, n

设 \varphi: J \to \Omega 是一个解，满足 \varphi_i'(t) = f_i(\varphi(t))。

1.2.1 曲线与子流形

Definition 4: \mathbb{R}^n 中的曲线（一维子流形）

$$ \Gamma \cap U = \{ x \in U \mid \psi_2(x) = \psi_3(x) = \cdots = \psi_n(x) = 0 \} $$ 直观上，该条件表示曲线局部上可通过坐标变换"拉直"。 **参数化表示**： 曲线 $\Gamma$ 也可由映射 $\varphi: J \to \mathbb{R}^n$ 参数化，其中 $J \subseteq \mathbb{R}$ 为区间，且满足： 1. $\varphi$ 为单射 2. $\varphi'(t) \neq 0$（正则条件） 3. $\varphi$ 为同胚（有时可放宽） --- ### 1.2.2 切向量与相切 对于参数化曲线 $\varphi: J \to \Gamma$，其在 $t_0$ 处的切向量为 $\varphi'(t_0)$。 对于曲线的不同参数化 $\varphi(t)$ 与 $\psi(s)$，若存在变量替换 $t = t(s)$ 使得 $\varphi(t(s)) = \psi(s)$，则： $$ \frac{d\psi}{ds} = \frac{d\varphi}{dt} \cdot \frac{dt}{ds} $$ 即不同参数化下的切向量仅相差一个标量倍数。 --- **Definition 5: 向量场与曲线相切** 设 $X: \Omega \to \mathbb{R}^n$ 为向量场，$\Gamma \subseteq \Omega$ 为一维子流形。若对任意 $p \in \Gamma$，有 $X(p) \in T_p \Gamma$（即 $X(p)$ 为 $\Gamma$ 在 $p$ 点的切向量），则称 $\Gamma$ 与 $X$ **相切**。 --- ### 1.2.3 主要定理 **Theorem 1: 相切曲线与积分曲线的关系** 设 $X: \Omega \to \mathbb{R}^n$ 连续，$\Gamma \subseteq \Omega$ 为一维正则子流形。若 $\Gamma$ 与 $X$ 相切，则存在 $\Gamma$ 的参数化 $\varphi: J \to \Omega$，使得 $\varphi$ 是微分方程： $$ \frac{d\varphi}{dt} = X(\varphi(t)) $$ 的解。 **证明概要**： 1. 取 $\Gamma$ 的局部参数化 $\psi: I \to \Gamma
  1. 由相切条件，存在函数 \alpha(s) \neq 0 使得： \frac{d\psi}{ds} = \alpha(s) X(\psi(s))
  2. 定义新参数 t(s) = \int_{s_0}^s \alpha(\sigma) \, d\sigma，则 t 为 s 的严格单调函数
  3. 令 \varphi(t) = \psi(s(t))，计算： \frac{d\varphi}{dt} = \frac{d\psi}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = \alpha(s) X(\psi(s)) \cdot \frac{1}{\alpha(s)} = X(\varphi(t))
  4. 故 \varphi 为所求参数化解。 \square

1.2.4 奇点

Definition 6: 奇点

对于方程 \dfrac{dx}{dt} = X(x)，若点 p \in \Omega 满足 X(p) = 0，则称 p 为方程的奇点（或平衡点）。

注：在奇点处，解曲线退化为单点；在非奇点处，总可局部参数化为积分曲线。