图论学习笔记

# 图论学习笔记 最近本蒟蒻在复习图论，发现自己已经基本把图论给忘了，所以就打算写这样一篇学习笔记，用来复习。 ## 一、图的表示 ### 1.邻接矩阵 用一个二维数组存边，$map[i][j]=k$表示点$i$到点$j$权值为$k$。添边、查边复杂度都是$O(1)$，访问与所有一个点连接的点的复杂度为$O(v)$，占用空间较大，适合稠密图。 **模板：** ```cpp int G[5000][5000], u, v, k, n, m; scanf("%d%d", &n, &m); for (int i = 0; i < m; ++i) { scanf("%d%d%d", &u, &v, &k); G[u][v] = k; } ``` ### 2.邻接表 用$n$个数组存储每个节点发出的边，占用空间较小，适合稀疏图。 **模板（vector方法）：** ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; struct Node { int v, k; }; vector<Node> head[5000]; int main() { int n, m, u, v, k; scanf("%d%d", &n, &m); for (int i = 0; i < m; ++i) { scanf("%d%d%d", &u, &v, &k); head[u].push_back((Node) {v, k}); } return 0; } ``` ## 二、拓扑排序 [见这个博客](https://www.luogu.org/blog/juruoyqr/Topological-Sort) ## 三、最小生成树 ### 1.定义 一个无向连通图的最小生成树是该图的一个子图，且是一棵树，包含图中的所有顶点，且边权和最小。 ### 2.Prim算法 设一个点集$Q$中仅包含初始节点（可以是任意节点），寻找一条边$(u,v)$，满足点$u$在集合$Q$中，点$v$不在集合$Q$中，且边权是所有这样的边中最小的，则这条边是最小生成树中的一条边，将点$v$也加入集合$Q$中，重复这样的操作，直到集合$Q$中包含所有的节点。那么找到的所有的边的集合就是这个图的最小生成树。Prim算法主要利用了贪心的思路。 形象地说，就是在图上选一个点，然后在这个点的周围画一个圈。（如图）  然后在和圈相交的边里面选一条权值最小的（在图中即5与6之间的边），再把这个权值最小的边指向的节点也围到圈里。（如图）  然后再找与圈相交的边权最小的边，并把指向的节点圈到圈里面，以此类推，直到圈里包含了所有的节点，那么所有选过的边就是这棵树的最小生成树。 **模板：** ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int INF = 1e9; struct Node { int v, k; }; vector <Node> head[200002]; int q[200002], n, m, tot = 0; //q[i]表示点i是否在点集q中 priority_queue<pair<int, int> > p; //堆优化,记录节点i与点集q中一点相连的最短的边的权值 void Prim(int root) { p.push(make_pair(0, root)); memset(q, 0, sizeof(q)); int u, v, k; while (!p.empty()) { k = p.top().first, u = p.top().second; p.pop(); if (q[u]) { continue; }//节点u已经在集合q中，直接跳过 tot += k; q[u] = 1; for (int j = 0; j < (signed)head[u].size(); ++j) { v = head[u][j].v, k = head[u][j].k; if (!q[v]) { p.push(make_pair(k, v)); } }//更新p数组 } } int main() { scanf("%d%d", &n, &m); int x, y, z; for (int i = 1; i <= m; ++i) { scanf("%d%d%d", &x, &y, &z); head[x].push_back((Node) {y, -z}); head[y].push_back((Node) {x, -z}); //由于优先队列是大根堆，就把边权取反，即可变成小根堆 } Prim(1); printf("%d\n", -tot); return 0; } ``` ### 3.Kruskal算法 首先将所有的节点放入不同的点集中，每个点集中只有一个节点。然后进行遍历，寻找一条边$(u,v)$，满足节点$u$与节点$v$不在同一个集合中，且是满足这个条件的边中权值最小的。那么这条边就是最小生成树中的一条边。将节点$u$与节点$v$所在的集合合并，再进行查找边与合并集合的操作，直到所有的点都在同一个集合中，那么找到的所有的边的集合就是这个图的最小生成树。 Kruskal算法可以利用并查集实现。 形象地说，就是在图中所有的节点周围都画一个圈（如图）：  再在不被包含在一个圈里的的边（即与两个圈有交点的边）找到权值最小的边（在图中即5到6的边），把这两个圈合并。（如图）  然后重复这样的操作，直到所有的节点都在一个圈里，那么所有选过的边就是这棵树的最小生成树。 **模板：** ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int INF = 1e9; int n, m, pre[200001], tot = 0, k = 0; struct Node { int u, v, k; }; vector<Node> edge;//edge数组存边 //----------------------------------------并查集 inline int find(int x) { int y = x, j; while (x != pre[x]) x = pre[x]; while (y != x) { j = pre[y]; pre[y] = x; y = j; } return x; } inline void join(int x, int y) { int pre_x = find(x), pre_y = find(y); if (pre_x != pre_y) { pre[pre_x] = pre_y; } } //----------------------------------------并查集 bool cmp(Node x, Node y) { return x.k < y.k; } void Kruskal() { sort(edge.begin(), edge.end(), cmp); //将边按权值从小到大排序 int cnt = 0; for (int i = 0; i < m; i++) { if (cnt == n - 1) { return; }//边够了 int u = edge[i].u, v = edge[i].v, k = edge[i].k; if (find(u) != find(v)) { //如果这条边可以选 join(u, v); cnt++; tot += k; } } } int main() { scanf("%d%d", &n, &m); int x, y, z; for (int i = 1; i <= m; i++) { scanf("%d%d%d", &x, &y, &z); edge.push_back((Node) {x, y, z}); } for (int i = 1; i <= n; i++) { pre[i] = i; }//并查集初始化 Kruskal(); printf("%d\n", tot); return 0; } ``` ###4.Prim算法与Kruskal算法的区别 | 算法 | Prim | Kruskal | | :-------- | --------: | :------: | |时间复杂度 | $O(v*log(v))$ | $O(e*log(e))$ | |适用范围 | 稠密图 | 稀疏图 | 注：$v$为点数，$e$为边数。 Prim算法需要通过堆优化后复杂度才能达到$O(v*log(v))$。 ## 四、最短路 ### 1.定义 >最短路问题（short-path problem）是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。基本内容是：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点（通常是源节点和阱节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。——百度百科 说人话就是在选一条连接两个点的路径，使这条路权值和最小。 ### 2.Dijkstra算法 Dijkstra算法是一个求单源最短路径的算法，**只适用于没有负权边的图**。Dijkstra算法与Prim算法有些类似，都是设一个点集$Q$，最初只有一个节点，然后不断地添点，直到全部添加。 设点集$Q$，最初只包含起点$u$。设$dis[i]$为目前找到的$u$点到编号为$i$的节点的最短路径，所有$dis[i]$初始化为INF，$dis[u]$初始化为$0$。首先寻找不在点集中且$dis$值最小的点$x$，将点$x$加入$Q$中，并进行松弛操作，即对于所有从$x$点出发的边$(x,y)$，$dis[y]=min(dis[y],dis[x]+w(x,y))$.然后再进行找点，加点与松弛的操作，直到所有点都被加入$Q$中为止。那么最短路就求出来了。 原理是由于图中没有负边，所以如果$dis[i]$为图中最小的，那么它就不可能再被更新，所以就可以被确定，即被加入点集$Q$中。 如果需要记录路径，那么就建立一个$father[n]$数组，$father[i]$表示$i$节点的上一个节点。每次进行松弛操作时，如果$dis[i]>dis[j]+w(i,j)$，那么就将$father[i]$赋值为$j$即可。 与Prim算法相似，Dijkstra算法也可以在找$dis$值最大的节点时利用堆进行优化。 **模板：** ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int INF = 1e9; struct Edge { int v, k; }; vector<Edge> head[100001]; int dis[100001], q[100001]; struct Node { int dis, u; //u:节点编号 dis:dis值 bool operator<(const Node& a) const { //运算符重载，以使用STL优先队列 return dis > a.dis; } }; int n, m; void Dijkstra(int s) { priority_queue<Node> que;//堆优化 bool vis[100001] = {0}; //是否被访问过 memset(dis, 0, sizeof(dis)); dis[s] = 0; que.push((Node) {0, s}); while (!que.empty()) { int u = que.top().u; que.pop(); if (vis[u]) { //如果已经被访问过了，那么这个节点的dis值就是在松弛操作之前的dis值了，直接删除即可。 //由于松弛后的dis值一定小于松弛前的dis值，所以不用担心出错。 continue; } vis[u] = 1; q[u] = 1; for (int i = 0; i < (signed)head[u].size(); i++) { int v = head[u][i].v, k = head[u][i].k; if (!q[v] && dis[v] > dis[u] + k) { //松弛操作 dis[v] = dis[u] + k; que.push((Node) {dis[v], v}); } } } } int main() { int u, v, k, s; scanf("%d%d%d", &n, &m, &s); for (int i = 0; i < m; i++) { scanf("%d%d%d", &u, &v, &k); head[u].push_back((Edge) {v, k}); } Dijkstra(s); for (int i = 1; i <= n; i++) { printf("%d ", dis[i]); } return 0; } ``` ### 3.Bellman-Ford算法 Bellman-Ford算法可以求有负权边的图的单源最短路径。算法是对$dis$数组进行$n- 1$（n 为节点个数）轮松弛操作。 原理是最短路一定经过$n-1$个节点（起点不算），即有$n-1$个$dis$值需要更新。每更新一个节点的$dis$值，其他的节点也可能会受到影响。故进行$n-1$轮松弛操作后可以保证求出最短路。 **模板：** ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int INF = 1e9; struct Node { int u, v, k; }; vector <Node> edge; int dis[100001]; int n, m; void Bellman_Ford(int s) { memset(dis, 0, sizeof(dis)); dis[s] = 0; for (int i = 0; i < n - 1; i++) { for (int j = 0; j < m; j++) { int u = edge[j].u, v = edge[j].v, k = edge[j].k; //遍历每一条边，进行松弛 if (dis[v] > dis[u] + k) { dis[v] = dis[u] + k; } } } } int main() { int u, v, k, s; scanf("%d%d%d", &n, &m, &s); for (int i = 0; i < m; i++) { scanf("%d%d%d", &u, &v, &k); edge.push_back((Node) {u, v, k}); //edge数组存边 } Bellman_Ford(s); for (int i = 1; i <= n; i++) { printf("%d ", dis[i]); } return 0; } ``` 另外值得一提的是Bellman-Ford算法还可以判断图中是否存在负环（即权值和为负的环），只需要在进行n-1次操作后再进行一轮松弛操作，如果还有节点的$dis$值被更新，说明图中存在负环。 ###4.SPFA算法 ~~它不是死了吗~~ **S**hortest **P**ath **F**ast **A**lgorithm 算法是Bellman-Ford算法的队列优化版本。 我们可以发现，如果一个点的$dis$值更新了 ，那么与这个节点相邻的节点的$dis$值都可能会受到影响。所以我们可以建一个队列，存放等待更新的节点，并每次对队首的节点进行松弛操作并把所有与队首相连的节点入队，并把队首pop出去，重复进行这样的操作，直到队列为空。 **模板：** ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int INF = 10e9; int n, m, dis[100001]; struct Node { int v, k; }; vector<Node>head[100001]; void SPFA(int s) { bool vis[100001];//vis数组记录是否在队列中 queue<int> que; que.push(s); for (int i = 0; i <= n; i++) { dis[i] = INF; vis[i] = 0; } vis[s] = 1; dis[s] = 0; while (!que.empty()) { int num = que.front(); que.pop(); vis[num] = 0; for (int i = 0; i < head[num].size(); i++) { //对队首进行松弛操作 if (dis[head[num][i].v] > dis[num] + head[num][i].k) { dis[head[num][i].v] = dis[num] + head[num][i].k; if (!vis[head[num][i].v]) { //如果队首更新，就把与队首相邻的节点入队 que.push(head[num][i].v); vis[head[num][i].v] = 1; } } } } } int main() { int s, x, y, z; Node a; scanf("%d%d%d", &n, &m, &s); for (int i = 1; i <= m; i++) { scanf("%d%d%d", &x, &y, &z); head[x].push_back((Node) {y, z}); } SPFA(s); for (int i = 1; i <= n; i++) { printf("%d ", dis[i]); } return 0; } ``` ###5.Floyd-Warshall算法 Floyed-Warshall算法可以求出多源最短路径，即求出任意两点之间的最短路径。Floyd-Warshall算法的本质是动态规划。设$dis_{k}[i][j]$表示节点$i$和节点$j$之间的一条仅经过编号最大不超过$k$的节点最短路径的长度，那么显然$dis_{0}[i][j]=w(i,j)$，因为$k$=0，所以路径中不能经过其他节点。 那么如何从$dis_{k-1}[i][j]$推出$dis_{k}[i][j]$呢？我们需要分两种情况： 1. $dis_{k}[i][j]$是一条不经过$k$节点的路径的长度，那么$dis_{k}[i][j]=dis_{k-1}[i][j]$. 2. $dis_{k}[i][j]$是一条经过$i$节点的路径的长度，那么$dis_{k}[i][j]=dis_{k-1}[i][k]+dis_{i-1}[k][j]$ (将这条路径分为两部分) 由此我们可以得到状态转移方程： $dis_{k}[i][j]=max(dis_{k-1}[i][j],dis_{k-1}[i][k]+dis_{k-1}[k][j])$ **模板：** ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int INF = 1e9; int n, dis[1001][1001]; void Floyd_Warshall() { for (int k = 1; k <= n; k++) { //循环k的值 for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { if (dis[i][k] != INF && dis[k][j] != INF && dis[i][k] + dis[k][j] < dis[i][j]) { //状态转移 dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j]; } } } } } int main() { scanf("%d", &n); int x, y, z; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { scanf("%d", &dis[i][j]); if (dis[i][j] == -1) { dis[i][j] = INF; } } }//邻接矩阵存图 Floyd_Warshall(); for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { if (dis[i][j] == INF) printf("-1 "); else printf("%d ", dis[i][j]); } printf("\n"); } return 0; } ``` #### update on 2019/11/12:改变了码风，修改了一些错误，Prim算法增加了堆优化。