泰勒展开

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如果你看不懂前两个部分的内容，且只为了高考，可以不看，但是要熟记蓝色的公式。

前置：对多项式函数的研究

定义 n 阶（n 有限）多项式函数

f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\dots+a_n(x-x_0)^n =\sum_{i=0}^na_i(x-x_0)^i

对这个多项式函数求导 n 次

f'(x)=a_1+2a_2(x-x_0)+3a_3(x-x_0)^2+\dots+na_n(x-x_0)^{n-1} =\sum_{i=1}^nia_i(x-x_0)^{i-1} f''(x)=1\times2a_2+2\times3a_3(x-x_0)+\dots+(n-1)na_n(x-x_0)^{n-2} =\sum_{i=2}^n(i-1)ia_i(x-x_0)^{i-2} \dots f^{(n)}(x)=n!a_n

令 x=x_0，代入原函数以及 n 个不同的导函数

f(x_0)=a_0=0!a_0 f'(x_0)=a_1=1!a_1 f''(x_0)=2a_2=2!a_2 f'''(x_0)=6a_3=3!a_3 \dots f^{(k)}(x_0)=k!a_k,k\in[0,n] \dots f^{(n)}(x_0)=n!a_n

也就是说原函数可以这么表示

f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n =\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i

正文：对一般函数的研究

多项式已经研究完了，但是我们需要进一步推广到一般函数的情况。

抛弃前面的定义，假设 f(x) 是一个任意的，在 x=x_0 处存在 1\sim n 阶导数的函数。我们对这个函数构造一个 n 阶多项式

T_n=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n =\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i

我们称 T_n 为 f 在 x_0 上的泰勒多项式，函数 T_n(x) 的各项系数为泰勒系数。

给出结论：f(x)-T_n(x)=o((x-x_0)^n)，即 f(x)-T_n(x) 为关于 (x-x_0)^n 的高阶无穷小量。

:::info[什么是无穷小量？] 定义两个函数 g_1(x),g_2(x)，当

\lim_{x\to x_0}\frac{g_1(x)}{g_2(x)}=0

则 g_1(x) 为关于 g_2(x) 的高阶无穷小量。

其实可以看作当 x 无限趋近于 x_0 时，f(x)-T_n(x) 的大小可以视为 0。 :::

::::info[证明（非必须掌握）]

:::info[洛必达法则]

对于两个函数 f(x),g(x)，洛必达的使用条件有两种形式

容易发现当 k=1,2,\dots,n 时，f^{(k)}(x_0)=T_n^{(k)}(x_0)。

令 P_n(x)=f(x)-T_n(x),Q_n(x)=(x-x_0)^n。那我们需要证明的就是

\lim_{x\to x_0}\frac{P_n(x)}{Q_n(x)}=0

直接做 n-1 次洛必达，得到

\lim_{x\to x_0}\frac{P_n(x)}{Q_n(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{P_n^{(n-1)}(x)}{Q_n^{(n-1)}(x)}

不难得到 P_n^{(n-1)}(x)=f^{(n-1)}(x)-T_n^{(n-1)}(x),Q_n^{(n-1)}(x)=n!(x-x_0)，回代

=\lim_{x\to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x)-T_n^{(n-1)}(x)}{n!(x-x_0)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x)-(f^{(n-1)}(x_0)+f^{(n)}(x_0)\cdot(x-x_0))}{n!(x-x_0)} =\frac{1}{n!}\lim_{x\to x_0}\textcolor{red}{\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}}-f^{(n)}(x_0)

根据导数的定义，红色的部分就是 f^{(n)}(x_0)，那么这个式子的值就是 0。 ::::

也就是说，对于一般函数 f(x)，有

\color{blue}f(x)= \color{blue}\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n) \color{blue}=[\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i]+o((x-x_0)^n)

（无论你看没看懂前面的部分，这个式子你需要会）

我们称其为 f(x) 在 x_0 处的泰勒公式，o((x-x_0)^n) 为该公式的余项。

泰勒公式的应用

当 n 趋近于无穷大，那么该公式的余项 o((x-x_0)^n) 就是 0。

假设我们需要把 f(x)=e^x 写成泰勒公式的形式，显然此处 x_0=0，令 n\to+\infty。

显然有 f(x)=f'(x)=f''(x)=f'''(x)=\dots=f^{(n)}(x)=e^x，同时就有 f(0)=f'(0)=f''(0)=f'''(0)=\dots=f^{(n)}(x)=1。

那么，根据泰勒公式，可以得到

f(x)=e^x= \frac{f(0)}{0!}+\frac{f'(0)}{1!}(x-0)+\frac{f''(0)}{2!}(x-0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x-0)^n+o((x-0)^n) =\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\dots =\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{x^i}{i!}

（你很快就会发现，切线放缩不等式就是由它得出来的）

高中范围内，常见的一些麦克劳林公式（在 $x\to0$ 时最常用）有： $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\dots$$ $$\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\dots$$ $$\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\dots$$ $$\tan(x)=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+o(x^6)$$ （$\tan$ 这个式子没什么规律，背一下前面三项就行，也可以 $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ 算） （upd：$\tan$ 这个式子是有规律的，$x^{2k+1}$ 前的系数为 $\frac{k!}{(2k+1)!!}$） $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\dots$$ $$-\ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\dots$$ $$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\dots$$ （最后这个 $(1+x)^{\alpha}$ 的公式就是二项式定理，但是 $\alpha\in R$） （建议把每个式子的前三项背下来） 如果要根据右式反推左式，需要用到积分，但一般不会出现这种问题。 小题还说啥了，泰勒直接用，但解答题不行。比如解答题如果需要用“$e^x\geq x+1$”这一结论，需要构造一个函数 $g(x)=e^x-x-1$。接着，求导得到 $g'(x)=e^x-1$，可以得知 $g(x)$ 的唯一极小值点为 $x=0$。而又因为 $g(0)=0$，故 $g(x)\geq0$，即证。有时候需要求多次导。 ### 题型 $1$：比大小 - 【$2022$ 新高考一卷 T7】设 $a=0.1e^{0.1}$，$b=\frac{1}{9}$,$c=-\ln0.9$，则 A. $a<b<c

B. c<b<a
C. c<a<b
D. a<c<b

会了泰勒展开遇到比大小的小题还不是秒杀吗。

知 e^x\approx1+x+\frac{x^2}{2}，-\ln(1-x)\approx x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}，可以得到 a\approx0.1105，b\approx0.1111，c\approx0.1053，故选 C。

题型二：证明超越不等式

泰勒展开在这里的应用主要是切线放缩，切线放缩是一个在高中很普遍的方法。

这种题太多了，不管你学不学泰勒展开，做导数压轴题的时候你也必须会切线放缩，所以题就不放了。