【ode】初等积分法

· · 算法·理论

分离变量法

形式：

\frac{dy}{dx}=p(x)q(y)

移项，得到

\frac{dy}{q(y)}=p(x)dx

两边积分

\int \frac{dy}{q(y)}=\int p(x)dx

一阶线性微分方程

形式：

y'=a(x)y+f(x)

其中，若 f(x)=0，则称齐次，否则称非齐次。

先解齐次情况：

\frac{dy}{dx}=a(x)y

分离变量，两边积分，得到

\int\frac{dy}{y}=\int a(x)dx \ln y=\int a(x)dx+C

于是

y=e^{\int a(x)dx+C}=Ce^{\int a(x)dx}

接下来看非其次情况

首先大胆猜测非齐次情况下的解形如

y=c(x)e^{\int a(x)dx}

其中 c(x) 为待定系数。

代入

y'=a(x)y+f(x)

得到左边为

\frac{dy}{dx}=\frac{dc}{dx}e^{\int a(x)dx}+c(x)e^{\int a(x)dx}a(x)

而右边是

a(x)c(x)e^{\int a(x)dx}+f(x)

于是两边联立，有

\frac{dc}{dx}e^{\int a(x)dx}+c(x)e^{\int a(x)dx}a(x)=a(x)c(x)e^{\int a(x)dx}+f(x)

得到

\frac{dc}{dx}e^{\int a(x)dx}=f(x)

分离变量，两边积分，得到

\int dc=\int f(x)e^{-\int a(x)dx}dx c(x)=\int f(x)e^{-\int a(x)dx}dx+C

代入原式，得到

y=e^{\int a(x)dx}(\int f(x)e^{-\int a(x)dx}dx+C) =e^{\int a(x)dx}\int f(x)e^{-\int a(x)dx}dx+Ce^{\int a(x)dx}

这个通解称为常数变易方程，这个方法叫常数变易法。

伯努利方程

y'=a(x)y+f(x)y^k

两边同时除以 y^k，得到

\frac{dy}{dx}y^{-k}=a(x)y^{1-k}+f(x)

设 z=y^{1-k}，有

因为

\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}=(1-k)y^{-k}\frac{dy}{dx}

故有

\frac{dz}{dx}=(1-k)a(x)z+f(x)(1-k)

这是一个非齐次一阶线性微分方程，使用常数变易公式即可得到通解。

而后用 y^{1-k} 代回 z，就得到了 y 的通解。

齐次方程

形式：

\frac{dy}{dx}=f(x,y)

其中 f(x,y) 为 x,y 的零次齐次函数。

考虑

换元，设 u=\frac{y}{x}，即有

\frac{dy}{dx}=f(x,ux)

而又 y=ux，所以

\frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}

故

只需解

\frac{du}{dx}x=f(x,xu)

而 f(x,y) 是零次齐次线性方程，所以 f(x,xu)\equiv f(1,u)，即 f 仅与 u 有关，故

参考资料：张伟年《常微分方程》