数学·草稿纸

hali13 · 2024-12-14 22:13:08 · 个人记录

0. 啥也没用的 xxs 指南我的入坑记录：

遇到 |x|+y^2=0 时，|x|=0，y^2=0

遇到二元一次方程或更高难度的一次方程时，不要总想着加减消元，你要记得还有一个东西叫做代入消元法

解方程 x^2=2x 有 2 个解 x=2 或 x=0

欧拉公式：e^{i\pi}+1=0

1. 次幂算法

基础公式：

进阶公式：

2. 证明 \sqrt{2} 不是有理数

假设 \sqrt{2} 是有理数

则：存在互质的两个正整数 m 和 n，使 \sqrt{2}=\dfrac{n}{m}

则：n=\sqrt{2}m，则：n^2=2m^2

则：2|n^2，则：2|n

则：4|n^2

则：4|2m^2，则：2|m^2

则：2|m

3. 质因数

要求一个数的质因数个数的公式，首先需要理解质因数分解的概念。质因数分解是将一个正整数写成几个质数相乘的形式。每个质数都是原数的质因数。

对于一个数 n 来说，其质因数个数取决于它的质因数分解形式。不幸的是，没有一个简单的公式可以直接给出任意 n 的质因数个数，因为这涉及到 n 的质因数分解的具体细节。不过，我们可以通过以下步骤来确定一个数的质因数个数：

首先对 n 进行质因数分解。

将 n 分解成质数的乘积形式： n = p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times \ldots \times p_m^{k_m} ，其中 p_1, p_2, \ldots, p_m 是质数， k_1, k_2, \ldots, k_m 是对应的指数。

质因数个数就是所有指数 k_1, k_2, \ldots, k_m 的和，即 k_1 + k_2 + \ldots + k_m 。

例如，如果 n = 60 ，质因数分解为 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 ，那么质因数的个数就是 2 + 1 + 1 = 4 。

要求一个数的所有质因数之和，我们可以使用质因数分解。以下是一个基于数学方法的步骤： 对给定的数 n 进行质因数分解。

将 n 分解成质数的乘积形式： n = p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times \ldots \times p_m^{k_m} ，其中 p_1, p_2, \ldots, p_m 是质数， k_1, k_2, \ldots, k_m 是对应的指数。

计算所有质因数的和： S = p_1 + p_2 + \ldots + p_m 。

这里的关键是，每个质因数 p_i 在质因数分解中只计算一次，即使它作为因数出现多次。

下面是一个具体的例子：

假设我们要对数 n = 60 进行质因数分解：

这里， p_1 = 2 , p_2 = 3 , p_3 = 5 ，所以所有质因数之和为：

所以，60的所有质因数之和是10。

如果我们有一个数 n ，并且我们想用数学方法求其所有质因数之和，我们可以使用以下步骤：

找出 n 的最小质因数 p_1 。

将 n 除以 p_1 ，直到 n 不能再被 p_1 整除。

找出新的 n 的最小质因数 p_2 ，重复步骤2。

继续这个过程，直到 n 被减少到1。

将所有找到的不同的质因数相加。

这个过程可以用数学公式表示为：

其中 p_i 是 n 的质因数，并且每个 p_i 只计算一次。

4. 关于“角”的一些知识

1. 加起来 90 度 = 余角
2. 加起来 180 度 = 补角

5. 等比数列通项公式