数论杂谈

几何微粒子 · 2022-08-14 15:22:49 · 个人记录

数论

• 数论的定义：

  数论是专门研究整数的性质的数学分支，其中大部分研究的是正整数。

  数论对信息学有很大作用也是考试恶心人的利器。

  • 各类定义：

  • 定理：符合某些条件的语句。一般的定理需要证明。

    • 公理：公认正确的连续性定理，不需要证明。

  • 复数(Complex Number) ：可以表示的数，包含实数和虚数。

    • 实数(Real Number) ：可以用数轴表示的数，也可以写成数字（有些实数带符号，比如符号，分数线和根号）的形式。

      • 实数包含有理数和无理数。

      • 任意一个实数的偶数次幂都>0

      • 有理数(Rational Number) ：可分类成整数和分数。

        • 整数(Integer) ：类似0,-1,1,-2,2这样的数。

          • 整数是数学上的基本概念，所以没有定义。

          • 整数包含正整数(Positive Integer)，负整数(Negative Integer)和 0 (Zero)

        • 分数(Fraction)：即无限循环小数和有限小数的总称。分数是有理数中除了整数外的一切数。

          • 分数也分为正分数(Positive Fraction)和负分数(Negative Fraction)。

        • 有理数的封闭性：任意有理数作运算都得到一个有理数。

      • 无理数(Quational Number) ：无限不循环小数。

        • 无理数也分正负，这里就不细说。

        • 无理数作加减乘除的运算，都可以得到一个多项式。

        • 同类无理数之间可以加减。任意无理数之间可以乘除。

      • 任意实数之间可以作运算。

    • 虚数(Imagine Number) ：不能用数轴表示的数，是不切实际的。

      • 任意一个虚数的平方为-1

      • 虚数可以用复平面表示。复平面就像一个平面直角坐标系。坐标系中的x轴成为实数轴，y轴成为虚数轴（虚数系数轴）。

      • 虚数可以写成字母形式，例如i,j。

      • 任意一个虚数都可以表示成a+bi的形式，其中a,b为有理数。

      • 在复平面中，a+bi的位置在(a,b)，原点和a+bi所在点的连线与x轴的夹角成为辐角。

      • 如果两个虚数的积为实数则称这两个虚数共轭。其中任意一个虚数为另一个虚数的共轭复数。

• 集合：

  • 集合是数学上的基本概念，所以集合没有定义。

  • 集合的每一个单独的量成为该集合的元素。

  • 集合的一些量组成的集合成为该集合的子集。

  • 集合常用符号：

  $\in$ **属于** 表示一个数属于某个集合。 $\notin$ **不属于** 表示一个数不属于某个集合。 例子：$S=\{1,2,3,4,5\}$，则$1\in S,6\notin S $\nsubseteq$ **不包含于** 表示一个集合不是另一个集合的子集。 例子：$S_1=\{1,2,3,4,5\},S_2=\{2,3,4\},S_3=\{5,6,7\}$，则$S_2\subseteq S_1,S_3\nsubseteq S_1 $\cup$ **并** 表示两个集合的共同部分和两个集合的单独部分。 例子：$S_1=\{1,2,3,4\},S_2=\{2,3,4,5\},S_3=\{5,6,7\},S_4=\varnothing$， 则有下列公式: $\boxed{S_2\cap S_1=\{2,3,4\}} \boxed{S_2\cup S1=\{1,2,3,4,5\}} \boxed{S_1\cap S_3=\varnothing} \boxed{S_1\cup S_3=\{1,2,3,4,5,6,7\}} \boxed{S_1\cap S_4=\varnothing} \boxed{S_1\cup S_4=S_1}

  • 集合的公理：

    • 集合的每个元素都具有互异性。

  • 通用集合：

    $N^+$ 正整数集 $Z$ 整数集 $Z^+$ 正整数集 $Q$ 有理数集 $R$ 实数集

• 整除

  • 前置芝士： 若m,n \in Z 且 n>0，则\exists q,r且0 \le r < n 使得 m=qn+r

  此处不予证明，因为这是句废话，而且需要很长的篇幅来证明。

  • 对于m,n \in Z 且 m \ne 0，若n=cm,c\in Z，则称m整除n。记作：m\mid n

    • 注意：m|n指的是\displaystyle\frac{n}{m}为整数，即n=cm,c\in Z.

  • 一些引理：

    • 若 n\in Z 则有 1\mid n

    • 若 m\ne0 则 m\mid 0

    • 若 m\mid n,n\mid q 则 m\mid q

    • 若 m\mid 1 则 m=1或-1

    • 若 m\mid n,n\mid m 则m=\pm n

• gcd（最大公因数）：

  • 任意两个数只有唯一一个最大公因数。

  • 最大公因数定义：

    • 对a,b且a,b不全为0

      若有c\in Z满足：

      c\mid a,c\mid b

      若 \exists\,d\mid a 且 d\mid b 则 d\mid c

公因数：指两个数都有的因数

例如 8 的因数为 1,2,4,8，6 的因数为 1,2,3,6，则 8 和 6 的公因数为 1,2

最大公因数：指两个数的公因数中的最大数。

上面的例子中，6 和 8 的最大公因数为 2，记作gcd(6,8)=2