数论笔记：如何优雅的走进欧拉恒等式
Aw顿顿
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如何优雅的走进欧拉恒等式
By Aw顿顿
众所周知，欧拉公式被认为是世界上最美的公式，其表达形式如下：
\Large e^{i\pi}=-1
通过一个简单的移项可以得到：
\Large e^{i\pi}+1=0
欧拉公式又被称为欧拉恒等式，是公认的最美的等式，他完美的结合了两个超越数和一个虚数的基本单位，又将实数领域富有意义的两个数紧密相连，这就是为什么他美丽。
这个完美的公式当中包含了相当丰富的数学知识，今天，我们就围绕着这个公式展开。
1.0 走进 e 的世界
百度百科告诉我们：
“e 自然常数，为数学中一个常数，是一个无限不循环小数，且为超越数，其值约为 2.71828。”
这……相当于什么也没有说。
所以今天让我们详细的讲解一下什么是 e。
先由一个好玩的小问题引入：
假设，你现在是一个老板，有相当数量的员工供你选择，他们总共有 n 个人，各自有编号和能力值，分别是 1,2,3,4,5\cdots n，你一次只能面试其中的一个，且仅在面试的时候可以查看他们的能力值，每次都必须做出决定：接受或者拒绝，而你只能招聘一个人。
那么，怎么才能以最大概率选中那个最好的呢？
事实上，这种情况在我们的生活中相当常见，于是作为一个科学问题，科学家们给出的答案是这样的：
但是……这个方法看着很玄乎啊？如何证明这是最优的？这个 37\% 又是怎么得到的？
让我们不要局限于答案，假设我们把 37\% 抛弃，将其替换为 k，即只看不选 k 个人。
我们将最优员工出现在 p 位置的 k 的概率记录为 G(k)。
这时候，我们可以通过“极限”思想求得最优解。
假设 n\to \infty，即 n 向正无穷大发散。
此时有：
G(k)=\sum\limits^n_{p=k+1}\dfrac{k}{np+n}=\dfrac{k}{n}\sum\limits^n_{p=k+1}\dfrac{1}{p-1}
此时，利用换元法，我们设 s=\dfrac{k}{n} 可以得到：
G(k)=-s\times \ln s
对其求导。
求导结束后强制令导数为 0 可以得到：
s=\dfrac{1}{e}
其中的 e 便是一个常数，得到了的是 e 的倒数，而这个数化作百分数近似于 37\%。
那……得到了最优的方案，我们怎么知道 e 多大，从而进行计算呢？
首先，他的值大多是这样定义的：
\large \lim\limits_{n\to \infty}(1+\dfrac{1}{n})^n=e
这个式子的意思是：
存在 n，令 (1+\dfrac{1}{n})^n 的值固定，这里不应理解为 (1+\dfrac{1}{n})^n 在靠近某个数，而应该理解为在任何时刻他都等同于某个数。
当 n 向无穷大发散，此柿子的值也就向 e 收敛。
我们知道 e 是自然对数的底数，通过定义，我们容易证明：
f(x)=e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}\cdots
此时我们给予 n 的值域是 n\to \infty。
由此，为了抵消掉次数 x，我们设 x=1，此时可以展开得到：
e=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots+\dfrac{1}{n!}
进行修缮得到：
e=\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots+\dfrac{1}{n!}
这时候，我们吧 n 的值域带入可以归纳出：
e=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots+\dfrac{1}{n!}
或者这样：
e=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}
另外需要提到的是，他和某个神奇的螺旋线相关。
这样我们就定义了 e 的值，并且说明了应用范例。
2.0 完美无缺的 \pi
相信凡是学过数学的OIer们对于 \pi 都不陌生。
圆周率很早就被发现了，通常有以下几种近似值：
\dfrac{25}{8}=3+\dfrac{1}{8}=3.125
\dfrac{22}{7}=3+\dfrac{1}{7}=3.\dot{1}4285\dot{7}
3.14\ ,\ 3.1415
通常我们都会背诵一定位数圆周率，可供参考的数值如下：
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510\cdots
众所周知，\pi 是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。
由于掌握了这个常数，我们可以通过半径算出球体的体积，圆的面积，这里贴一下公式：
\Large S_{\texttt{圆}}=\pi r^2
\Large V_{\texttt{球}}=\dfrac{4}{3}\pi r^3
但是，如果要严格定义这个常数，我们通常会用：
\texttt{满足} \sin (x)=0 \texttt{的最小正实数 }x\texttt{ 对应值为 }\pi
来定义。
圆作为一个正无限多边形，其边长和直径的关系无法求出精确值。
顺带一提，如今越来越多的人认为 \tau （读作 \mathcal tau ）可能会取代 \pi 的位置，其中 \tau=2\pi，因为这样可以简化相当数量的公式。
但是，请注意，正是我们今天的主角，欧拉公式，拯救了 \pi 的常数地位。
最后再补充一下完整定义吧：
\cos z:=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}
\sin z:=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}
然后我们可以定义：
\pi:=\inf\{x\in(0,\infty:\sin(x)=0\}
且
(0,\infty):=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}
另一种解释是（引用一张图片）：
3.0 虚无缥缈的 i
首先，相信你一定知道 \sqrt{1}=1。
那，思考一下，\sqrt{-1}=?。
是 1 吗？不对，1^2=1。
那是 -1 吗？不对不对，(-1)^2=1，求值也是一样。
那……其他的数字也不会符合吧？
这时候，无论是分数、小数、正数、负数……他们的平方都大于等于 0。
实数范围内，如果 \sqrt{n} 有意义，那么 n\ge 0
没事，出现这种问题完全是因为：我们的数域需要扩充了。
我们学过，n 在实数范围内，那么 n^2\ge 0。那么，也就是说，这个数不是实数。
想一想，不是实数是什么？实的反义词是虚，所以，我们把他命名为虚数，当中，\sqrt{-1} 用 i 来表示，即虚数单位，类似于实数中的 1。
但是，他的存在究竟有什么意义呢？
事实上，我们可以先想象一个实数轴。
然后，把从原点到 1 的这个单位举例逆时针旋转 180^\circ 就可以得到 -1，也就是旋转了两个 90^\circ。
此时我们得到：
1\times 90^\circ\times 90^\circ=-1
（当中的 90^\circ 为了正常渲染省略了注释“逆时针旋转”）
化简一下就是：
{90^\circ}^2=-1
如果逆时针 90^\circ 记录为 i：
i^2=-1
i=\sqrt{-1}
事实上，虚数 i 即逆时针旋转 90 度，他不可以简单理解为一个类似于 1 的数量，他还包含了一个旋转量的含义。
简单来说，如果将虚数和实数相加得到的复数，可以表示一个具体的点，也可以表示一个方向。
我们来细致剖析一下虚数：
虚数的引入，极大的简化了关于旋转的运算。
比如：
假定存在一个力，为 2+2i ，另一个力为 7+i，其合成力就是 9+3i。
假定存在一个方向，为 2+3i，现在要逆时针旋转 90^\circ，则新的方向为 (2+3i)i=2i-3。
实数的运算定理大体对于虚数也适用。
事实上，如果将刚刚讨论的实数轴，也就是我们所熟悉的那个数轴，垂直方向作一个类似的虚数轴，我们可以得到这样的一张图：
此时，i 作为 y 轴的单位长度。
我们先脱离虚数，来观察一个很有意思的数列：
1,\sqrt{-1},-1,-\sqrt{-1},1\cdots
你能找出规律吗？
是的，这个数列其实就是：
i^0,i^1,i^2,i^3,i^4\cdots
他是一个自我循环的数列。
4.0\ e,\pi,i 的共舞
我们已经“详细而系统”的介绍完了三个常数，接下来，我们一起来了解一下欧拉公式了。
首先，利用 e 的幂级数展开：
f(x)=e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}
然后，利用麦克劳林公式，可以得到：
\cos(x)=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}\cdots
\sin(x)=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}\cdots
此时将 \sin 乘上 i，将两式相加可得：
\cos(x)+i\sin(x)=e^{ix}
我们把 x 的值带入 ±y 可得：
e^{±iy}=1±\dfrac{iy}{1!}-\dfrac{y^2}{2!}±\dfrac{iy^3}{3!}+\dfrac{y^4}{4!}+\cdots
根据这个式子可以得到：
其中：
\sin(x)=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
\cos(x)=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
将当中的 x 值取 \pi 可以得到：
\Large e^{\pi i}+1=0
然后整理出一般形式为：
\Large e^{\theta i}=\operatorname{isin}\theta+\cos\theta
\rm{Q.E.D}
但是，我们再来从不同的意义方面讨论一下这个恒等式吧。
首先，e^{ix} 的意义是什么呢？
其实，他代表的是 \lim\limits_{n\to \infty}(1+\dfrac{ix}{n})^n。
其实，当 n 不断向着正无限大发散的时候，这个函数所画出的图像是一个半径为 1 的单位圆，这个式子代表着一个矢量，其角度为 x。