三角函数诱导公式

boomzero · 2023-11-19 12:01:01 · 学习·文化课

公式一（函数关于2π的周期性）

• \sin (2k\pi +\alpha )=\sin \alpha,k\in \mathbb{Z}
• \cos (2k\pi +\alpha )=\cos \alpha,k\in \mathbb{Z}
• \tan (2k\pi +\alpha )=\tan \alpha,k\in \mathbb{Z}
• \cot (2k\pi +\alpha )=\cot \alpha,k\in \mathbb{Z}

公式二（函数关于π的周期性）

• \sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha
• \cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha
• \tan (\pi +\alpha )=\tan \alpha
• \cot (\pi +\alpha )=\cot \alpha

公式三（函数的奇偶性）

• \sin (-\alpha )=-\sin \alpha
• \cos (-\alpha )=\cos \alpha
• \tan (-\alpha )=-\tan \alpha
• \cot (-\alpha )=-\cot \alpha

公式四（在单位圆中各三角函数线关于''y''轴的对称性）

• \sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha
• \cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha
• \tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha
• \cot (\pi -\alpha )=-\cot \alpha

公式五（可看作在直角三角形中的转换）

• \sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha
• \cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha
• \tan \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cot \alpha
• \cot \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\tan \alpha

公式六

• \sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha
• \cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha
• \tan \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\cot \alpha
• \cot \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\tan \alpha

公式七

• \sin \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=-\cos \alpha
• \cos \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=-\sin \alpha
• \tan \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=\cot \alpha
• \cot \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=\tan \alpha

公式八

• \sin \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=-\cos \alpha
• \cos \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=\sin \alpha
• \tan \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=-\cot \alpha
• \cot \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=-\tan \alpha

内在联系

值得注意的是，公式一至八其实都存在着内在联系，可以写成以下形式：

• \sin \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right), k\in \mathbb{Z}
• \cos \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right), k\in \mathbb{Z}
• \tan \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right), k\in \mathbb{Z}
• \cot \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right), k\in \mathbb{Z}

可用如下口诀将联系记忆起来：“奇变偶不变，符号看象限”。意思为，当k为奇数时，\sin 变为 \cos，\cos 变为 \sin，\tan 变为 \cot，\cot 变为\tan；而 k 为偶数时，三角函数则不变换。对于正负号，则要看最后角所在的象限进行判断，可以使用如下口诀：CAST，也可以使用 ASTC (All Students Take Calculus) 用来记忆。

• 第一象限的 A 即是 All（全部皆正）。
• 第二象限的 S 即是 Sine & CoSecant（正弦以及余割为正）。
• 第三象限的 T 即是 Tangent & Cotangent（正切以及余切为正）。
• 第四象限的 C 即是 Cosine（余弦为正）。