[数学盛宴] 𝓥 算子 I ——乱搞抛物线时的意外发现
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算法·理论
0x-1 Abstract
本文将介绍一个若蛭准初三初二牲认为值得研究到晚上十一点还没写作业的纯数学幻象。
个人觉得写得比较友好。
拿本文恶补二次函数或者观看神秘性质也算不白来吧。
前置知识（按涉及到的顺序排列，加粗为理解全部内容必需的知识，未加粗的属于锦上添花）：
幂为非负整数的乘方运算、多项式、函数、导数、方程、集合、对泛函分析的大致印象、对数域的大致印象、更一般的乘方运算。
前面四个加粗知识你肯定得懂（能点开本文的大概都学过吧），其它的我尽量用个人理解浅显感性解释一下。
限于作者水平，文章难免有纰漏，请各路大蛇多多指正！
AI 使用说明：本文全部由作者写成，感谢 ChatGPT 在推导过程中的帮助，感谢 Cursor 生成代码。
也许有人已经提出了这东西，那么还是带大家从头发明这个神秘算子吧。
0x00 缘起
学校里教二次函数进度太慢，刚学完 y=a(x-h)^2，让我有些不满（准确来说是对后面新知的好奇），于是我从最简单的顶点式 f(x)=a(x-h)^2+k 开始捣鼓。显然顶点坐标 (h,k)。
::::success[导数与顶点坐标证明]{open}
你可以把导数看做物理中的“瞬时速度”，也就是“起点”和“终点”无限接近的“平均速度”。
物理上有 \overline{v}=\frac{s}{t}=\frac{s_终-s_始}{t}，数学上有差商（记号是我自己定义的） \overline{f'_{∆x}}(x)=\frac{∆y}{∆x}=\frac{f(x+∆x)-f(x)}{∆x}。
当 ∆x 无限趋近于零的时候，我们就得到了微商（也就是导数）：f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}
常数就是常数，所以导数为零。
试试计算 y=ax^2 的导数！
:::info[小试牛刀]
\begin{aligned}
y'&=\frac{a(x+dx)^2-ax^2}{dx}
\\&=a\cdot\frac{x^2+2x\cdot dx+dx^2-x^2}{dx}
\\&=a\cdot\frac{2x\cdot dx+dx^2}{dx}
\\&=a(2x+dx)
\end{aligned}
由于 dx 无限趋近于零，于是可以忽略不计，所以
:::
**类似的，可以得到 $(x^a)'=ax^{a-1}$**（后面要考）
---
这个证明也是一言难尽了。毕竟大家都是平移得结论。
对常数求导为零，所以先对 $f$ 整体减去 $k$ 得到可爱的 $f_0=a(x-h)^2$。
$f'_0(x)=2a(x-h)
二次函数顶点 (h,k) 的定义，就是说 f(x) 在 x<h 时单调性，与其在 x>h 时的单调性相反。「先增（减）后减（增）」
转换为导数的意义就是说，f'_0(x) 在 x<h 时为负（正），在 x>h 时为正（负）。
又因为 f'_0(x) 是关于 x-h 的正比例函数，
那么唯一的可能就是在 x=h 时 f'_0(x)=0，如果这个命题成立就得证了。
因为 a≠0，所以解得 x-h=0，x=h。把纵坐标上减去的 k 加回来，QED。
函数一阶导为零的点叫驻点。记住这个概念，后面要用。
::::
二次函数一般形式为 y=ax^2+bx+c，考虑待定系数法求 h，k 与 a，b，c 的关系：
\begin{aligned}
y&=a(x&-h)^2&+k\\
&=ax^2&-2ahx&+ah^2+k\\
&=ax^2&+bx&+c
\end{aligned}\\
\therefore\begin{cases}
b=-2ah\\
c=ah^2+k
\end{cases}\\\,\\
\therefore\begin{cases}
h=-\frac{b}{2a}\\
k=c-\frac{b^2}{4a}
\end{cases}
扔进去画图，发现是对的。
然后就是捣鼓 a，b，c。
发现固定 a，c，改变 b，顶点的轨迹似乎是一个抛物线。
尝试得出这个抛物线，发现是 g_2(x)=-ax^2+c。（过程中其实误入歧途了，详见和 GPT 的对话）
然后让这几个值动起来，也是非常的好看啊。它俩是中心对称的，所以我称 f(x)=ax^2+bx+c 和 g_1(x)=-ax^2+c 为“FAc-𝓥 共轭二次函数”。虽然没什么用，但是可以出新定义题？
接着又想到对二次项系数 a 做我对 b 做过的事，发现是一条直线 g_{2}(x)=c+\frac{b}{2}x。
常数项的话就平凡了，是条竖线 x = h = -\frac{b}{2a}。
欲要直观理解，请点击图片观看神圣的演示：
0x02 Poly?
看来这个操作挺有意思的，于是试着推广。
我们要定义一个算子。
:::info[算子与泛函]{open}
根据百度百科及专业数学教材，算子本质上是一种映射规则或变换，用于将输入对象转换为输出对象。
输入对象和输出对象都不受限制，只要有定义能套上模版即可。没错你可以把 C++ STL 的大部分函数看作算子。
嗯加减乘除乘方啥的都算算子。函数也算。
高级一些的算子有 \zeta 函数、各种卷积、微积分、矩阵（线性映射嘛）之类的。
最重要的是数学压轴的新定义题定义的东西很多都可被纳入算子的范畴。
算子有时尤指对函数的映射规则或变换，比如\mathcal{F}（傅立叶变换）、OI 经常用的\tiny\text{我不会的} F\mathcal{F}T、\mathcal{L}（拉普拉斯变换）等，还有我们接下来要定义的东西。
泛函属于上一段所述的“算子”，可以理解为函数的函数，对于每一个输入函数 f，都有输出函数 g 与之一一对应。典型的就有 \mathcal{F} 和 \mathcal{L}。
:::
暂且取 vertex 的首字母 V 吧，用它的花体 \mathcal{V} 作为符号。
它目前的含义：\mathcal{V}_m 接受一个多项式P(x)=\sum\limits_{p=0}^{n}a_px^p（这里防止与虚数单位混淆），返回改变 p 次项时，P 顶点的轨迹（方程）。
这个轨迹不一定是函数。你看看 p=0 的时候就知道了。这是一组过驻点的竖线，可能有，可能无（当且仅当 P 无驻点）。
当时的我：这咋求啊？？看起来需要什么高深的算法呢。
其实不然。
0x03 比看起来更有意思
咋计算 \mathcal{V}_m\big(P(x)=\sum\limits_{p=0}^{n}a_px^p\big)？
这何时是泛函？何时输出是函数？
记 Q_m(x) = P(x)-a_mx^m，也就是用于去除目标项的变换得到的函数。
把参数 \lambda 代入，作为 m 次项系数，得到函数 P_m(x)=Q_m(x)+\lambda x^m，其中 \lambda 是未知的。
驻点的定义就是在函数图像上、且导数为零的点的集合，形式化的，
\Big\{\big(x,f(x)\big)\Big|f'(x)=0\Big\}
翻译一下，P_m'(x)=Q_m'(x)+m\lambda x^{m−1}=0。
:::info[怎么来的]
显然导数与加法满足分配律，即 $(f+g)'=f'+g'$，留做习题答案略。
导数也显然可以提出来常数，即 $(c\cdot f)'=c\cdot f'$留做习题答案略。
根据上文提到的 $(x^a)'=ax^{a-1}$，得到 $(\lambda x^m)'=\lambda(x^m)'=m\lambda x^{m-1}
加上 Q_m，就得到 P_m'(x)=Q_m'(x)+m\lambda x^{m−1}
:::
到这里，你可能想到解关于 \lambda 的含参方程 Q_m'(x)+m\lambda x^{m−1}=0 来找到这个神秘参数。
当 m>0 且 x≠0 时，\lambda = -\frac{Q'(x)}{mx^{m-1}}。
代回 P_m(x)=Q_m(x)+\lambda x^m，
由于 P_m 的参数 \lambda 可以使 P_m 是我们要的轨迹，所以
\begin{aligned}
\mathcal{V}_m(P)(x)&=Q_m(x)-x^m\cdot\frac{Q_m'(x)}{mx^{m-1}}
\\&=Q_m(x)-\frac{xQ_m'(x)}{m}
\end{aligned}
由此我制作了三次函数的可视化（\mathcal{V}_0 一边去，泛函家族不欢迎你），点击图片进行探索：
且慢！把 Q_m 换回 P，有
Q_m(x)=P(x)-a_mx^m\\
Q_m'(x)=P'(x) - ma_mx^{m-1}
所以
\begin{aligned}
\mathcal{V}_m(P)(x)&=P(x)-a_mx^m-\frac{x\big(P'(x) - ma_mx^{m-1}\big)}{m}
\\&=P(x)-\frac{x}{m}P'(x){\color{green}-a_mx^m+\frac{\color{red}x^1}{\color{blue}m}{\color{blue}m}a_m{\color{red}x^{m-1}}}
\\&=P(x)-\frac{x}{m}P'(x)
\end{aligned}
至此，我们愉快的搞完了！
$$
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……吗？
回看最初的发现，系数风雨无阻，$\mathcal{V}_0$ 格格不入！这不是一个多项式，而是过驻点、平行于 $y$ 轴的直线的集合。
原因很简单，上面关于 $\lambda$ 的方程有无穷解或无解的情况。当 $m=0$ 或 $x=0$ 时，$m\lambda x^{m−1}=0$，
此时只要 $Q'(x)=0$ 成立，任何 $\lambda$ 都可以使方程成立，否则任何 $\lambda$ 都无法使方程成立。
等等，$Q'(x)$ 是啥子来着？对，是 $P'(x) - ma_mx^{m-1}
那么我们分类讨论。
i. m=0，Q'(x)=P'(x)=0。
所以 \lambda 有无穷解当且仅当 P'(x)=0。
诶？P'(x)=0 的根是啥？没错，正是所有驻点的横坐标。
于是就和二次函数中观察到的现象还有几何直观联系起来了：改变常数项本质上只是上下平移函数罢了。
ii. x=0 只是一个特殊值，但是我们要求 \lambda 在任何的 x 都满足 Q'(x)+m\lambda x^{m−1}=0 所以直接舍掉。
\Large\color{red}\sf 综上
\color{green}\boxed{
\mathcal{V}_m\big(P(x)=\sum\limits_{p=0}^{n}a_px^p\big)=
\begin{cases}
y=P(x)-\frac{x}{m}P'(x)&m≠0\\
P'(x)=0&m=0
\end{cases}
}
当且仅当 m=0 时，\mathcal{V} 不是泛函。
到此我已经不屑于去用不支持泛函分析的图象计算器了，于是调教 Cursor 用 PyGame 写了一个也许 Bug 重重（欢迎提出 issue）的可视化工具（点击查看源代码仓库）：
事实上你发现 \mathcal{V}_m 也适用于一次函数和常数。如果是常数那么 \mathcal{V}_0 布满整个平面。一次函数的 \mathcal{V}_1 反映它与 y 轴交点。
这时候基础的才真结束了，但只是在多项式结束了。可是依旧值得欣喜若狂一顿了！
从可视化看 \mathcal{V}_m 还有很多神秘的性质，我已经做了一些笔记，更深，也许这个算子和泰勒展开有着某些联系，但是第四章貌似会把这个东西整成循环论证？开放问题且听下回分解。
停停停还是看 \mathcal{V} 本身吧。
0x04 Beyond Poly!
我进一步给出 \mathcal{V} 更一般的定义（里面的符号是从字符检视器随便取的）：
\boxed{
\mathcal{V}_\mu\big(\sum\limits_\eta a_\eta x^\eta\big)=\big\{(x,\sum\limits_{\eta≠\mu} a_\eta x^\eta+\lambda x^\mu)\Big|(\sum\limits_{\eta≠\mu} a_\eta x^\eta+\lambda x^\mu)'(x)=0\big\}
}
里面的 \lambda 是未知变量，\mu 和 \eta 可以是任何指数等运算有意义的数，可以是实数，可以是复数，甚至可以是p进数或者诸如此类一些有良好性质的神秘数。
一定会搞出一些有意思的东西的。但是这个我自己是否能够理解有待考证。
还有，对泰勒展开的函数做原版 \mathcal{V}_m 会发生什么？
这些都是有待各路大蛇研究的好东西！
0x~0 Usage? Future?
刚想到和写完却实感觉很不同。抽象有抽象的美啊！
用的好当然可以颗秒 WHK，但是这个傻 der 会不会用有待科学研究。
也许可以出相关题目？填坑。
夹带私货：我觉得如果可能整个𝓥 算子模版题应该挺好，啥时候有哪位大蛇愿意带我出 UnRated 公开赛，也许蒟蒻自己？来整个比赛，也算圆了一段梦。我还是有几个 Idea 和半成品题目的（与本文无关）。
欢迎各路大蛇与蒟蒻交流～
\large\color{red}\sf 连续两天熬夜到凌晨创作，实在不易，求赞求好评喵。
下期再见，拜拜 meow～（有下期吗？）