复变函数入门：解析函数，导数，还有微分

Aw顿顿 · 2023-07-26 09:58:11 · 个人记录

上一课：复变函数入门 - 定义与概念

前文已经提及复变函数论研究的主要对象是解析函数，那么究竟什么是解析函数？

解析函数：定义在区域 G 内的函数 \omega=f(z) 在 G 内处处可导，则称 f(z) 是区域 G 上的解析函数。

因此我们有必要对复变函数的导数作出定义。

在严格性上需要简单加以规定：

• 该极限存在

这和实函数显然是相似的。

进而，复变函数本质是二元实函数的组合，因此其微分有必要单独予以定义：

• 设 \omega=f(z) 在 z_0 处可导
• 令 \Delta\omega=f'(z_0)\cdot\Delta z+\rho(\Delta z)\cdot\Delta z，其中 \rho(\Delta z)\cdot \Delta z 是高阶无穷小，具体地：
• \lim\limits_{\Delta z\to 0}\rho(\Delta z)=0

于是我们注意到 f'(z_0)\Delta z 是 \omega=f(z) 的线性部分，那么我们称其为 f(z) 在 z_0 处的微分。

那么讨论回解析函数。

判定一个复变函数是否可导，只要判断导数的极限式沿两个路径是否等同即可。对于解析性更基本的讨论，下节课我们会简单介绍。

对于单点处的解析性，并不能像区域上一样定义，因此我们要求在一点及其（某个）邻域处可导即可。这个结论放在区域上，容易发现区域内可导和区域内解析是成立的，但单点处可导并不意味着单点处解析。

如果 f(z) 在 z_0 处不解析，那么我们称 z_0 是 f(z) 的奇点。

在要求上，解析和可导明显都比连续要更严格。