柯西化解无穷小量

p.s.本文为花絮，因为不说极限导数听不懂。

基本极限

\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1

\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e

设函数f(x)在点x_0的某一去心领域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数\varepsilon（无论它有多么小），总存在正数\delta，使得当x满足不等式0<|x-x_0|<\delta时，函数值f(x)都满足不等式

|f(x)-A|<\varepsilon

那么常数A就叫做函数f(x)在x\to x_0时的极限，记作

\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A

设函数f(x)在点x_0的左邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数\varepsilon，总存在正数\delta使得当x从左侧趋于x_0时，也即x满足的不等式为0<x_0-x<\delta时，函数值f(x)都满足不等式

|f(x)-A|<\varepsilon

则常数A就叫函数f(x)在x_0处的左极限，记作

\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)=A

同样地，设函数f(x)在点x_0的右邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数\varepsilon，总存在正数\delta使得当x从右侧趋于x_0时，也即x满足的不等式为0<x-x_0<\delta时，函数值f(x)都满足不等式

|f(x)-A|<\varepsilon

则常数A就叫函数f(x)在x_0处的右极限，记作

\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)=A

如果函数f(x)在x=x_0处的极限存在，则f(x)在该点处的左极限与右极限一定存在且相等。

设函数f(x)在(t,+\infty)内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数\varepsilon，总存在正数M，使得当x满足不等式x>M时，函数值f(x)都满足不等式

|f(x)-A|<\varepsilon

那么常数A就叫做函数f(x)在x\to +\infty时的极限，记作

\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A

类似的，可以定义函数在负无穷远处的极限。

如果函数f(x)在x_0的某个邻域内有定义，且

\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)

则称f(x)在x=x_0处连续。如果函数f(x)在一个开区间(a,b)内的每一点都连续，则称函数f(x)在区间(a,b)上连续。如果一个函数在定义域的每一点都连续，则称该函数为连续函数。与单侧极限对应的，函数在某点处也有左连续与右连续的概念。

好，今天我们就聊到这里。