线性代数学习笔记

内容来自@bupt_liunanfu，本人只负责 LaTeX 的编排工作。

图片待补充。

1.1 向量与线性组合

线性代数为数学分析和数据可视化提供了一种方式，其以一种清晰明了的形式展现数据，令学习者得以更加形象、直观地了解数据的形式及其本质，同时也在计算机运算中提供了可以处理数据的方式。

在我们已经学过的物理学及数学知识中，向量利用箭头表示，涵盖了两层直观的含义：长度和方向。且这两个特征不会随着向量的移动而变化，因此该形式的向量可存在于空间任意位置。

[图1.1-1] [图1.1-2]

而对于计算机来说，向量是有序的数字列表，而数表中的数据表明这是一个怎样的向量。作为一位大学新生，可以将其理解为一个空间系（平面或空间直角坐标系）下向量的坐标表示形式（恰好高中对向量坐标的定义就是“有序数对”，另外，对向量坐标的本质理解，可参考物理中的 \delta v ，即速度变化量）。

和上文中提到的内容类似，线性代数将物理学中的向量观念同计算机结合起来，于是有了后文的辅助理解。

向量可以表示任何相加、相乘均有意义的事物。而在线性代数中，我们通常将向量的起点定为空间的原点，不同于物理学中向量的起点可以是任意位置（这像是从计算机概念上继承下来的性质）。

[图1.1-3] [图1.1-4]

向量有两大基本运算——加法和数乘，它们也是线性组合前的两个重要概念。

向量加法即对应位置的元素相加。

\vec{u}+\vec{v}=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_1+v_1\\u_2+v_2\end{pmatrix}

[图1.1-5]

在几何上，向量加法满足三角形法则和平行四边形法则。

\lambda\vec{u}=\lambda\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda u_1\\ \lambda u_2\end{pmatrix}

在数学中，我们将向量的数乘称为“缩放”。顾名思义，意为将向量伸长或缩小，同时数乘的符号也会改变向量的方向。

定义：将两个向量 \vec{u} 和 \vec{v} 的线性组合定义为 a\vec{u}+b\vec{v} \,(a,b\in\mathbb{R})

线性组合本质上是向量加法与数乘运算的结合，但任意线性组合无需均包括，如

\vec{u}+\vec{v}\, ,\, a\vec{u}\, ,\, b\vec{v}

也属于线性组合，但 a,b 取值略有区别。

线性组合在未来的学习中具有重大作用。