不等式1 基本不等式
FS_qwq
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个人记录
基本不等式
不等式：
若有自然数 a,b，则
a+b \geq 2\sqrt {ab}
当且仅当 a=b 时等号成立。
证明： 由完全平方公式的性质知，(a-b)^2 \geq 0，展开得，
a^2-2ab+b^2 \geq 0
即 a^2+b^2 \geq 2ab（重要不等式，当且仅当 a=b 时等号成立），两边同时加上 2ab 得，
a^2+2ab+b^2 \geq 4ab
即 (a+b)^2 \geq 4ab，两边同时开根号得，
a+b \geq 2\sqrt {ab}
推论：
2(a^2+b^2) \geq (a+b)^2
当且仅当 a=b 时等号成立。
证明：原不等式转换为，2a^2+2b^2 \geq a^2+2ab+b^2，化简得，
a^2-2ab+b^2 \geq 0
即 (a-b)^2 \geq 0，显然成立。
\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \le \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}
证明：先证
\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \le \sqrt{ab}
考虑将其化为基本不等式的形式，先去倒数得，
\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2} \geq \sqrt{\frac{1}{a}\times \frac{1}{b}}
设 \frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y，则原式为
\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}
（二元均值不等式）
将 2 乘到右边为基本不等式，显然成立！
再证明
\frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}
两边同时开平方得，
\frac{(a+b)^2}{4} \le \frac{a^2+b^2}{2}
两边同时乘以 2 得，
\frac{(a+b)^2}{2} \le a^2+b^2
即 (a+b)^2 \le 2a^2+2b^2，上面我们已经证明，显然成立。
而最后的 \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}（二元均值不等式），把右边的 2 乘到左边来，就是基本不等式，显然成立。