朱世杰恒等式证明
Merron
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个人记录
发现当m=n时
原式= (^{n}_{n}) = (^{n + 1}_{n + 1})成立
设
\sum_{k = n}^{m}(^{k}_{n})=(^{m + 1}_{n + 1})
成立
只需证明
\sum_{k = n}^{m+1}(^{k}_{n})=(^{m + 2}_{n + 1})
成立即可
\sum_{k = n}^{m+1}(^{k}_{n}) = \sum_{k = n}^{m}(^{k}_{n}) + (^{m + 1}_{n})=(^{m + 1}_{n + 1})+(^{m + 1}_{n})=\frac{(m+1)!}{(n+1)!(m-n)!}+\frac{(m+1)!}{n!(m-n+1)!}
上式通分整理得
\text{原式} = \frac{(m+2)!}{(n+1)!(m-n+1)!} = (^{m+2}_{n+1})= (^{(m+1)+1}_{n+1})