高等数学的妙用

· · 个人记录

总有人说 2008 年江西高考最后一题特别难，于是我把这个题翻了出来，然后发现，这不是个偏导的裸题吗？

（2008 江西高考 22（2））

已知 f(x)=\dfrac 1 {\sqrt{1+x}}+\dfrac 1 {\sqrt{1+a}}+\sqrt{\dfrac{ax}{ax+8}}\quad(0<x<+\infty)

对于任意正数 a，求证 1<f(x)<2.

证明：不妨令 F(x,a)=\dfrac 1 {\sqrt{1+x}}+\dfrac 1 {\sqrt{1+a}}+\sqrt{\dfrac{ax}{ax+8}}\quad(0<x,a<+\infty)

注意到 F(x,a) 是关于 x,a 的轮换对称式，故 \dfrac{\partial F}{\partial x} 与 \dfrac{\partial F}{\partial a} 结构应该完全相同，只是互换了 a 与 x 的位置。

下面求 F(x,a) 在定义域上的极值。

首先令 \dfrac{\partial F}{\partial x}=\dfrac{\partial F}{\partial a}\equiv0，由上面的结论容易知道必有 x=a.

令 g(x)=F(x,x) 并求导知

g'(x)=-(x+1)^{-\frac 3 2}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+8}}-\dfrac{x^2}{(x^2+8)^{\frac 3 2}}=-\dfrac{8}{(4x+4)^{\frac 3 2}}+\dfrac{8}{(x^2+8)^{\frac 3 2}}

由于当 x>0 时总有 4x+4\le x^2+8，根据幂函数的单调性容易知道 g'(x)\le 0 恒成立，即函数 F(x,a) 在满足条件 x=a 时总单调减小。于是原函数 F(x,a) 不存在极值，上界取于 (x,a)\to(0,0) 时，下界取于 (x,a)\to(+\infty,+\infty) 时。

\lim_{(x,a)\to(0,0)}F(x,a)=2 \lim_{(x,a)\to(+\infty,+\infty)}F(x,a)=1

故 1<F(x,a)<2 即 1<f(x)<2. （证毕）