《高等数学》第二章总练习题选做

1. 讨论函数 $\displaystyle f( x) =\begin{cases} |x-3| & x\geq 1\\ \frac{x^{2}}{4} -\frac{3}{2} x+\frac{13}{4} & x< 1 \end{cases}$ 的连续性与可导性。 在 $\displaystyle x=1$ 附近，左极限为 $\displaystyle 2$，右极限为 $\displaystyle 2$。故 $\displaystyle f$ 是连续函数。在左侧导数为 $\displaystyle \left. \left(\frac{x}{2} -\frac{3}{2}\right)\right| _{1} =-1$，右侧导数为 $\displaystyle -1$，因此在 $\displaystyle x=1$ 位置可导。但在 $\displaystyle x=3$ 位置不可导。 3. 设函数 $\displaystyle g( x) =(\sin 2x) f( x)$，其中 $\displaystyle f( x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续。问：$\displaystyle g( x)$ 在 $\displaystyle 0$ 处是否可导，若可导，求出 $\displaystyle g'( 0)$。 解：由定义，导数为 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\frac{f( x)\sin 2x}{x} =\left[\lim _{x\rightarrow 0} f( x)\right] \cdotp \lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{x} =2f( 0)$。 5. 设函数 $\displaystyle f( x)$ 在 $\displaystyle [ -1,1]$ 由定义，且满足 $\displaystyle x\leq f( x) \leq x^{2} +x$，证明 $\displaystyle f'( 0) =1$。 设 $\displaystyle g( x) =f( x) -x$，那么 $\displaystyle 0\leq g( x) \leq x^{2}$，考虑 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\frac{f( x)}{x} =1+\lim _{x\rightarrow 0}\frac{g( x)}{x}$，由于 $\displaystyle \left| \frac{g( x)}{x}\right| \leq |x|$ 可知极限为 $\displaystyle 0$，因此 $\displaystyle f'( 0) =1$。 8. 设函数 $\displaystyle f( x)$ 在 $\displaystyle ( -\infty ,+\infty )$ 上有定义，且满足性质：(1) $\displaystyle \forall a\forall b,f( a+b) =f( a) f( b)$ (2) $\displaystyle f( 0) =1$ (3) 在 $\displaystyle x=0$ 处可导。证明对任意 $\displaystyle x$ 有 $\displaystyle f'( x) =f'( 0) f( x)$。 首先证明 $\displaystyle f$ 连续。由 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}} f( x) =f( x_{0})\lim _{x\rightarrow x_{0}} f( x-x_{0}) =f( x_{0}) f( 0) =f( x_{0})$ 可得。 接下来考虑计算导数。$\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f( \Delta x+x) -f( x)}{\Delta x} =f( x)\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f( \Delta x) -1}{\Delta x} =f( x) f'( 0)$。 9. 设 $$ \begin{aligned} f( x) & =\begin{cases} \frac{1}{2^{2n}} & x=\frac{1}{2^{n}}\\ 0 & \mathrm{else} \end{cases}\\ g( x) & =\begin{cases} \frac{1}{2^{n+1}} & x=\frac{1}{2^{n}}\\ 0 & \mathrm{else} \end{cases} \end{aligned} $$ 问 $\displaystyle f,g$ 在 $\displaystyle 0$ 处是否可导？ 解：$\displaystyle f$ 总有 $\displaystyle f( x) /x\leq x$，因此有 $\displaystyle f'( 0) =0$。但 $\displaystyle g( x) /x$ 在 $\displaystyle x\rightarrow 0$ 时通过 $\displaystyle \mathbb{R} \backslash \left\{2^{-n}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{2^{-n}\right\}$ 逼近的结果分别为 $\displaystyle 0,\frac{1}{2}$，因此没有导数。 10. 设 $\displaystyle f( x) ,g( x)$ 在 $\displaystyle [ a,b]$ 上连续，证明： $$ \left(\int _{a}^{b} f( x) g( x)\mathrm{d} x\right)^{2} \leq \int _{a}^{b} f^{2}( x)\mathrm{d} x\cdotp \int _{a}^{b} g^{2}( x)\mathrm{d} x $$ 解：考虑 $\displaystyle \int _{a}^{b}( f( x) +tg( x))^{2}\mathrm{d} x\geq 0$，展开有 $$ \begin{aligned} & =\left[\int _{a}^{b} f^{2}( x)\mathrm{d} x\right] +2\left[\int _{a}^{b} f( x) g( x)\mathrm{d} x\right] t+\left[\int _{a}^{b} g^{2}( x)\mathrm{d} x\right] t^{2}\\ \Delta & \leq 0\\ 4\left[\int _{a}^{b} f( x) g( x)\mathrm{d} x\right]^{2} & \leq 4\int _{a}^{b} f^{2}( x)\mathrm{d} x\cdotp \int _{a}^{b} g^{2}( x)\mathrm{d} x \end{aligned} $$ 即证 $\displaystyle \left(\int _{a}^{b} f( x) g( x)\mathrm{d} x\right)^{2} \leq \int _{a}^{b} f^{2}( x)\mathrm{d} x\cdotp \int _{a}^{b} g^{2}( x)\mathrm{d} x$。 13. 设 $\displaystyle f( x)$ 在 $\displaystyle [ 0,1]$ 上连续且 $\displaystyle >0$，证明 $\displaystyle \int _{0}^{1}\frac{\mathrm{d} x}{f( x)} \geq \frac{1}{\int\nolimits _{0}^{1} f( x)\mathrm{d} x}$ 解：考虑第 10 题的结果，带入 $\displaystyle \sqrt{f( x)} ,\frac{1}{\sqrt{f( x)}}$ 得到等式 $\displaystyle 1\leq \int _{0}^{1}\frac{\mathrm{d} x}{f( x)} \cdotp \int\nolimits _{0}^{1} f( x)\mathrm{d} x$，随后移项即得。 14. 利用公式 $\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}\frac{\mathrm{d} t}{t}$ 证明： (a) $\displaystyle \frac{1}{n+1} < \ln\left( 1+\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n} \quad ( n >0)$ 解：$\displaystyle \frac{1}{n+1} =\int _{n/( n+1)}^{1}\mathrm{d} t< \int _{n/( n+1)}^{1}\frac{\mathrm{d} t}{t} =\ln\left( 1+\frac{1}{n}\right) =\int _{1}^{1+1/n}\frac{\mathrm{d} t}{t} < \int _{1}^{1+1/n}\mathrm{d} t=\frac{1}{n}$。