数学杂题分享 3
题目 平面上有一个正多边形，每个顶点都染成了红黄蓝三色之一。已知：
- 三种颜色的顶点数量都相等。
- 正多边形的所有边中，连接两个异色顶点的边的数量是一个偶数。
求证：存在与该多边形相交的直线
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提示
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显见原命题等价于：可以在原多边形的顶点中找到连续的一段（非空且不为整个多边形），使得该段内三色顶点数量相同。
考虑在上面的三角网格中放上一枚棋子。我们从多边形某个顶点开始顺时针遍历多边形的各顶点，每遇到一个红色顶点就向上走，遇到一个黄色顶点就向左下走，遇到一个蓝色顶点就向右下走。注意到由于三种颜色顶点数量相同，在遍历完所有顶点后，我们的棋子也回到了原点。（这是因为每次上、左下、右下各一次就会回到原点。）
如果棋子的行走路径与自身相交，考虑找到一个交点，那么我们从某两次经过这个点时在多边形上遍历到的位置将整个多边形断开，容易证明分开的两段就是符合条件的。下面我们来说明：棋子的行走路径一定与自身相交。
考虑反证。如果该路径不自交，那么它在平面上画出了一个简单多边形。由题目条件，该多边形的边数为偶数。（这里认为构成平角的两条线段属于同一条边。）但可以注意到该多边形每个内角都为