反比例函数压轴题学习笔记（模型）
fried_chicken
·
·
学习·文化课
要考试了，所以学习一下吧
直比等于斜比方：比例模型
先看一下图：
AB\perp x轴
结论：\frac{AB}{BD}=(\frac{OC}{OD})^2
证明一下：
我们做2条辅助线。
做CE\perp x轴，连接OB
\frac{AB}{BD}=(\frac{OC}{OD})^2
首先，根据反比例函数的几何意义，我们可以知道S_{\bigtriangleup OEC}=S_{\bigtriangleup OBA}
我们还能得出来\bigtriangleup OEC \sim \bigtriangleup OAD
那么，相似比等于面积比的平方。\frac{S_{\bigtriangleup OEC}}{S_{\bigtriangleup OAD}}=(\frac{OC}{OD})^2
\frac{AB}{BD}=(\frac{OC}{OD})^2
又因为S_{\bigtriangleup OEC}=S_{\bigtriangleup OBA}，所以我们可以得到\frac{S_{\bigtriangleup OAB}}{S_{\bigtriangleup OAD}}=(\frac{OC}{OD})^2
观察两个三角形，可以得到他们是同高的。因此，面积的比就变成了底边的比。即：
\frac{AB}{AD}=(\frac{OC}{OD})^2
Q.E.D.
图：
平行模型
结论：\frac{CB}{CA}=\frac{CN}{CM}
BN//AM
证明：
由第一个结论就能知道：\frac{AB}{AC}=(\frac{OD}{OC})^2
也能知道\frac{AB}{AC}=(\frac{OD}{OC})^2
\frac{MN}{CM}=(\frac{OD}{OC})^2
\therefore \frac{AB}{AC}=(\frac{OD}{OC})^2=\frac{MN}{CM}
运用等分思想，1-\frac{AB}{AC}=1-\frac{MN}{CM}
\therefore \frac{CB}{CA}=\frac{CN}{CM}
然后就能很轻易的得到：
那条橙色的线与洋红色的平行（不想标字母了）
Q.E.D.
图：
中点模型
已知：AB:BC=1:1结论：OE=DE=CD
证明：
首先，CD=DE很好证明，拿相似就行了，不讲了
去想一下反比例函数的几何意义。
S_{\bigtriangleup AOE}=S_{\bigtriangleup BOD}
也很容易由相似知道BD:AE=1:2
那么，面积一样，高为2倍，底就应该是一半。∴OE=0.5OD,即OE=ED
举一反三：
CD:DE=CB:AB,DE:OE=(AB-BC):BC
Q.E.D.
函数忘记留了，就不看了
垂直模型：一线三直角，不讲了
第5个模型
结论：AP=QB
证明：作垂线：
Q标成O了，将就看吧
DPNO和CQMO面积一样，都等于k
也就是QM\cdot QC=DP\cdot PN \Rightarrow\frac{QM}{PN}=\frac{DP}{QC}
由\triangle OBM \sim \triangle PBN可知，\frac{QM}{PN}=\frac{QB}{BP}
同理可得，\frac{DP}{QC}=\frac{AP}{AQ}
综合以上几个式子，我们不难得出：
\frac{QB}{BP}=\frac{AP}{AQ}
分子分母调换一下位置，在化简一下，就能得到结论
\frac{QB}{BP}=\frac{AP}{AQ}
\\\\\
\\\\
\frac{BP}{QB}=\frac{AQ}{AP}
\\\\\
\\\\
\frac{QB+PQ}{BQ}=\frac{AP+PQ}{AP}
\\\\\
\\\\
1+\frac{PQ}{QB}=1+\frac{PQ}{AP}
\\\\\
\\\\
然后就能得到结论：QB=AP
\\\\\
\\\\
Q.E.D.