微积分（4）：隐微分

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隐微分

现在再来讨论对于一些特殊函数的求导。

我们发现，前面我们求导的函数都是形如y=...这样的，这样的函数被称为显函数，即明确表示了y的值是由x的代数式表示的。

那么还有另一类隐函数已知x不能直接求y。

对隐函数求导就是隐微分。

隐微分的一般过程：

  1. 对每一项进行微分。

  2. 解出\dfrac{dy}{dx}的值。

我们发现可以化为显函数的形式，但比较麻烦。

考虑对两边同时求导，等式仍然成立。

\frac{d}{dx}x^2+\frac{d}{dx}y^2=\frac{d}{dx}r^2

对每一项分别求导，我们考虑\dfrac{d}{dx}y^2求导的结果是什么。

用链式法则类似的思路，我们补上需要的dy，得到：

\frac{d}{dx}y^2=\frac{dy^2}{dy}\frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx}

而右边的r^2是一个常数，求导结果是零。

因此将原式左右两边同时求导：

2x+2y\frac{dy}{dx}=0

考虑我们原来求导结果是\dfrac{df(x)}{dx}，而现在将f(x)换成了y，因此我们要求的结果就是\dfrac{dy}{dx}的值。

解方程，得到\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-x}{y}。

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