【数学竞赛】一些简单题分享 23.7.27

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设正数数列 \{a_n\} 满足 a_1=1+\sqrt{2}，且

(a_n-a_{n-1})(a_n+a_{n-1}-2\sqrt{n})=2

对于 n\ge2 成立，求数列通项并求满足 [a_n]=2022 的正整数 n 构成的集合。

（1）根据 a_1 的形式及相邻项之间有 \sqrt{n} 猜想 a_n=\sqrt{n}+\sqrt{n+1}，归纳证明。

当 $n-1$ 成立时 $$(a_n-\sqrt{n-1}-\sqrt{n})(a_n+\sqrt{n-1}-\sqrt{n})=2$$ 因此我们得出 $(a_n-\sqrt{n})^2=2+n-1=n+1

于是 a_n=\sqrt{n}\pm\sqrt{n+1}，由于 a_n>0 所以归纳假设成立。

（2）首先证明引理 [\sqrt{n}+\sqrt{n+1}]=[\sqrt{4n+1}]

(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})^2=2n+1+2\sqrt{n(n+1)}

该式显然是比 4n+1 来得大的，但同时比 4n+2 来的小。后者由于 \bmod 4=2 所以不是完全平方数，因此开根后永远只能在前者取到等。因此引理证毕。

接下来要处理 [\sqrt{4n+1}]=2022 的问题。很显然就是 [1022121,1023131]。

设正数数列 \{a_n\},\{b_n\} 满足 a_1=b_1=1, b_n=a_nb_{n-1}-\frac{1}{4}，n\ge 2，求：

4\sqrt{\prod\limits_{k=1}^{m}b_k}+\sum\limits_{k=1}^{m}\dfrac{1}{\prod\limits_{i=1}^{k}a_i}

的最小值，其中 m 是给定正整数。

难点主要在于构造，答案给出的构造是 b_2=b_3=\cdots=b_m=\frac{1}{4}，a_2=\frac{1}{2}，a_3=\cdots=a_m=2。

首先，\dfrac{1}{a_1a_2\cdots a_k} 的分母换成 4\times\frac{1}{4}，其中 \frac{1}{4}=a_kb_{k-1}-b_k，有：

\dfrac{1}{a_1a_2\cdots a_k}=4\times\left(\dfrac{b_{k-1}}{a_1a_2\cdots a_{k-1}}-\dfrac{b_k}{a_1a_2\cdots a_k}\right)

于是上式的和式部分可以（通过相邻相消）处理为：

\sum\limits_{k=1}^{m}\dfrac{1}{\prod\limits_{i=1}^{k}a_i}=\dfrac{1}{a_1}+4\left(\dfrac{b_1}{a_1}-\dfrac{b_m}{a_1a_2\cdots a_m}\right)=5-\dfrac{4b_m}{a_1a_2\cdots a_k}

同时，对 a_k 进行一些简单的处理：

a_k=\dfrac{b_k+\dfrac{1}{4}}{b_{k-1}}\ge\dfrac{\sqrt{b_k}}{b_{k-1}}

此时进行一个截肢式的放缩（为什么答案会想到这种放缩）：

\dfrac{b_m}{a_1a_2\cdots a_k}\le\dfrac{b_m}{\prod\limits_{i=1}^{m-1}\dfrac{\sqrt{b_{i+1}}}{b_i}}=\sqrt{b_1b_2\cdots b_m}

而将这个式子代入，就得到了要证明的结论。

来一到白给的调整一下心情。

关于 x 的实系数方程 x^3+ax^2+bx+c=0 有三个正实根，且三根之和不大于 1，求证：

a^3(1+a+b)-9c(3+3a+a^2)\le 0

肯定先把韦达写出来：

x_1+x_2+x_3=-a x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=b x_1x_2x_3=-c

所以我们处理原式为 (a^3-27c)(a+1)+a^2(ab-9c)，对两部分分别讨论：

由此得证。

进行如上拆分的启发条件在于 1+a\ge 0 这一点。

设 a,b,c,d 为非负整数。

很显然，c,d 不能是 0，否则 a^2+b^2=2022，而 3\ |\ 2022 而 9\not| \ 2022

（1）那么我们可以得到 (a+b)^2\ge a^2+b^2\ge 2022 所以 a+b\ge 45

如果取等只能是 \{a,b\}=\{0,45\}，否则 a^2+b^2\le 1^2+45^2<2022，所以 c=3,d=1。此时 a+b+c+d=49。

对于 a+b=46 的情况，考虑奇偶性， cd^2 必然是偶数，因此他们至少是 3，对于 a+b=47 的情况至少是两个 1，因此这些情况都不小于 49。所以最小值就是 49。

（2）答案给的方法是：猜答案

假设 a+b+c+d\le24，若 c+d=24 则 a=b=0 此时 cd^2=2022，2022=3\times 674，因此只能是 c=2022,d=1，这时候显然不满足。

如果 c+d\le 23，然后 cd^2\le \dfrac{4}{27}(c+d)^3\le\dfrac{4}{27}\cdot 23^2<1900

因此 a^2>122 所以 a>11 所以 c+d\le b+c+d<13，重复上面的过程，我们可以得到：

cd^2\le\dfrac{4}{27}(c+d)^3<\dfrac{4}{27}13^3<400

所以 a^2>1622 所以 a>40>a+b+c+d 所以矛盾。

于是我们证明了 a+b+c+d 的最小值是 25，在 (0,1,7,17) 处取等。

然后这一题我在讨论区问的时候@HoshinoYuki 说可以用拉格朗日乘数法来做，但我确实是第一次听这个方法，这里简单做个记录。

先设 $L:x+2y+\lambda(x+2y+2xy-8)$，后半部分是 $0$ 所以没关系。对此求 $x$ 的偏导，可以得到： $$\dfrac{\partial L}{\partial x}=1+\lambda+2\lambda y$$ $$\dfrac{\partial L}{\partial y}=2+2\lambda+2\lambda x$$ $$\dfrac{\partial L}{\partial\lambda}=x+2y+2xy-8=0$$ 这时候可以解出 $x=2,y=1$，此处取到最小值。（偏导求极值点太合理了） 这题不一定能用这种方法的原因在于求出的极值点未必是整点，~~并且解五元方程组也太麻烦了~~。