导数浅谈
Mikefeng
·
2022-12-10 12:07:31
·
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目录
导数表及其证明
导数运算法则及其证明
练习题
前言
函数的导数是表示函数在某一点的切线斜率的函数。
前置知识：
\lim_{x\to \infty}e=(1+\frac{1}{x})^x
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1
导数表及其证明
f(x)=x^n,f'(x)=nx^{n-1}
\\&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sum_{i=0}^n\binom n i x^i\Delta x^{n-i}-x^n}{\Delta x}
\\&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sum_{i=0}^{n-1}\binom n i x^i\Delta x^{n-i}}{\Delta x}
\\&=\lim_{\Delta x \to 0}n\sum_{i=0}^{n-1}\binom {n-1} i x^i\Delta x^{n-i-1}
\\&=\lim_{\Delta x \to 0}n(x+\Delta x)^{n-1}
\\&=nx^{n-1}\end{alignedat}
f(x)=e^x,f'(x)=e^x
\lim_{x\to \infty}e=(1+\frac{1}{x})^x
\lim_{x\to 0}e=(1+x)^\frac{1}{x}
\lim_{x\to 0}e^x=1+x
\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{e^x\cdot (e^{\Delta x}-1)}{\Delta x}
\\&=e^x\end{alignedat}
f(x)=a^x,f'(x)=\ln a\cdot a^x
\lim_{x\to \infty}e=(1+\frac{1}{x})^x
设 k=\ln a
\lim_{x\to 0}e=(1+kx)^\frac{1}{kx}
\lim_{x\to 0}e^{kx}=1+kx
\lim_{x\to 0}\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^x\cdot (a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}
\\&=\ln a\cdot a^x\end{alignedat}
f(x)=\ln x,f'(x)=\frac{1}{x}
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\ln(x+\Delta x)-\ln x}{\Delta x}
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\ln(1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\frac{\Delta x}{x} \ln (1+\frac{\Delta x}{x})^\frac{x}{\Delta x}}{\Delta x}
\\&=\frac{1}{x}\end{alignedat}
f(x)=\log_a x,f'(x)=\frac{1}{x\ln a}
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\log_a(x+\Delta x)-\log_a x}{\Delta x}
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\frac{\Delta x}{x} \ln (1+\frac{\Delta x}{x})^\frac{x}{\Delta x}}{\Delta x\ln a}
\\&=\frac{1}{x\ln a}\end{alignedat}
f(x)=\sin x,f'(x)=\cos x
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin x\cos \Delta x+\cos x\sin\Delta x-\sin x}{\Delta x}
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cos x\sin\Delta x}{\Delta x}
\\&=\cos x\end{alignedat}
f(x)=\cos x,f'(x)=-\sin x
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{cos\ x\cos \Delta x-\sin x\sin\Delta x-\cos x}{\Delta x}
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{-\sin x\sin\Delta x}{\Delta x}
\\&=-\sin x\end{alignedat}
导数运算法则及其证明
h(x)=f(x)+g(x),h'(x)=f'(x)+g'(x)
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}
\\&=f'(x)+g'(x)\end{alignedat}
h(x)=f(x)-g(x),h'(x)=f'(x)-g'(x)
读者自证不难。
h(x)=f(x)g(x),h'(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)(g+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}
\\&=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\end{alignedat}
h(x)=\frac{f(x)}{g(x)},h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)g(x)\Delta x}
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)g(x)\Delta x}
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x+\Delta x)g(x)}
\\&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}\end{alignedat}
h(x)=f(g(x)),h'(x)=f'(g(x))g'(x)
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(g(x)+\Delta x\cdot g'(x))-f(g(x))}{\Delta x}
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(g(x))+\Delta x\cdot g'(x)f'(g(x))-f(g(x))}{\Delta x}
\\&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta x\cdot g'(x)f'(g(x))}{\Delta x}
\\&=f'(g(x))g'(x)\end{alignedat}
练习题
求 f(x)=x^{x^x} 的导数
则f(x)=x^{x^x}=x^{(x^2)}
设 g(x)=\ln f(x)=\ln x^{(x^2)}=x^2\ln x
g'(x)=(x^2\ln x)'=2x\ln x+x
g'(x)=(\ln f(x))'=\ln'f(x)\cdot f'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}
所以 \frac{f'(x)}{f(x)}=2x\ln x+x
f'(x)=2x\ln x\cdot x^{x^x}+x\cdot x^{x^x}