轨道稳定子定理和 Burnside 定理（萌萌）
critnos
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轨道稳定子定理
对于一集合 f 和群 G，随便定义一个 (x,y),x\in f,y\in G，满足 (x,e)=x，e 是 G 的单位元；(x,y)\in f；(x,pq)=((x,p),q)。
定义 x\in f 的轨道为 \{(x,y)|y\in G\}，x\in f 的稳定子为 \{y|y\in G\land (x,y)=x\}，那么有 |\{(x,y)|y\in G\||\{y|y\in G\land (x,y)=x\}|=|G|。
直观上是显然的，然而我感觉群论入门是把直观里感觉显然但是不好证的东西形式化地表达出来。。。
首先稳定子 G_0 为 G 的子群。
单位元：根据定义 e\in G_0。
结合律：对于 p,q\in G_0，(x,pq)=((x,p),q)=(x,q)=x，所以 pq\in G_0。
逆元：对于 y\in G_0，((x,y^{-1}),y)=(x,e)=x，所以 (x,y^{-1})=x，所以 y^{-1}\in G_0。
那么根据陪集分解的原理，只需要证明 p,q\in G,(x,p)=(x,q) 则 pG_0=qG_0，反之亦然。
即 p\in qG_0 即 (x,pq^{-1})=x。
反之亦然。得证。
有了这个定理自然会去做等价类计数，即求轨道的等价类数量。
显然轨道不相交，轨道并为 $f$，轨道的等价类数量即为 $\sum_{x\in f}\dfrac 1 {|\{(x,y)|y\in G\}|}$。
用等价的形式表述，即 $\dfrac 1 {|G|}\sum_{x\in f}|\{y|y\in G\land (x,y)=x\}|$，即 $\dfrac 1 {|G|}\sum_{y\in G}|\{x|x\in f\land (x,y)=x\}|$。
这就是 Burnside 定理。