射影几何初步与极点极线理论
xzyg
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学习·文化课
前言
之前一直断断续续看过极点极线相关内容，但一直没搞懂。这几天上数学培优课学会了。
很牛牛的技巧，虽然高考显然不能用，但这并不妨碍它很牛牛。
在 2024-08-11 日下午开始写的。
在写了，在写了。
如果你是急急国王，可以先看参考资料。
upd in 2025.2.22：高三了，发现坑太大填不满，于是删去了一半，不过不影响（
大概以后不会再写了，除非太闲。
//## 射影几何初步
//### 交比及其射影不变性
//### 调和点列及调和线束
//#### 调和点列
//#### 阿氏圆中的调和点列
//#### 调和线束
//### 调和线束的性质
//#### 平行线截中点性质
//#### 调和线束的斜率关系及其推论
极点极线理论
圆锥曲线中调和共轭的等价条件
以椭圆为例：
有椭圆 E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 。对于不在 E 上的两点 P,Q ，若直线 P,Q 与圆锥曲线 E 交于两点 M,N ，若点 P,M,Q,N 为一组调和点列（即 \frac{|PM|}{|QM|} = \frac{|PN|}{|QN|}），则称 P,Q 关于圆锥曲线 E 调和共轭。
此时，有：
\frac{x_1x_2}{a^2} + \frac{y_1y_2}{b^2} = 1
证明：不妨设 \overrightarrow{MP} = \lambda \overrightarrow{PN},\overrightarrow{MQ} = -\lambda \overrightarrow{QN},P(x_1, y_1),Q(x_2,y_2),M(x_3,y_3),N(x_4,y_4) 。
易得：
x_1 = \frac{x_3 + \lambda x_4}{1 + \lambda},y_1 = \frac{y_3 + \lambda y_4}{1 + \lambda}
\\
x_2 = \frac{x_3 - \lambda x_4}{1 - \lambda},y_2 = \frac{y_3 - \lambda y_4}{1 - \lambda}
\end{array}}
以及
{\large \begin{array}{c}
\frac{x_3^2}{a^2} + \frac{y_3^2}{b^2} = 1
\\
\frac{x_4^2}{a^2} + \frac{y_4^2}{b^2} = 1 \tag{*}
\end{array}}
$$ \frac{\lambda ^ 2 x_4^2}{a^2} + \frac{\lambda ^ 2 y_4^2}{b^2} = \lambda ^ 2 $$
作差得到：
$$ \frac{x_3^2 - \lambda^2 x_4^2}{a^2} + \frac{y_3^2 - \lambda^2 y_4^2}{b^2} = 1 - \lambda ^ 2 \tag{**}$$
注意到：
$$ \begin{array}{c}
x_3^2 - \lambda^2 x_4^2 = (x_3 + \lambda x_4)(x_3 - \lambda x_4) = (1 - \lambda ^ 2)x_1x_2
\\
y_3^2 - \lambda^2 y_4^2 = (y_3 + \lambda y_4)(y_3 - \lambda y_4) = (1 - \lambda ^ 2)y_1y_2
\end{array} $$
代入 $ (**) $ 式即有：
$$ \frac{x_1x_2}{a^2} + \frac{y_1y_2}{b^2} = 1 $$
同样的，在一般二次曲线中也有类似性质：
有二次曲线 $ E: Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 $。对于不在 $ E $ 上的两点 $ P,Q $，若直线 $ P,Q $ 与圆锥曲线 $ E $ 交于两点 $ M,N $，若点 $ P,M,Q,N $ 为一组调和点列，则称 $ P,Q $ 关于圆锥曲线 $ E $ 调和共轭。
此时，有：
$$ Ax_1x_2 + By_1y_2 + \frac{C}{2}(x_1y_2 + x_2y_1) + \frac{D}{2}(y_1 + y_2) + F = 0 $$
证明见 [梳理圆锥曲线中极点极线的基本脉络（上）](https://zhuanlan.zhihu.com/p/672460824)。
### 极点与极线的定义
观察到，对于固定的点 $ P $，满足与其关于圆锥曲线调和共轭的点将构成一条直线。于是有如下定义：
定点 $ P $ 关于圆锥曲线的调和共轭点的轨迹是一条直线，这条直线称为点 $ P $ 关于圆锥曲线的极线，$ P $ 叫做这条直线关于圆锥曲线的极点。
规定：如果 $ P $ 在圆锥曲线上，则点 $ P $ 的极线即为过点 $ P $ 的圆锥曲线的切线。
以椭圆为例：
具体的，点 $ P(x_1,y_1) $ 关于椭圆 $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 的极线为 $ l: \frac{x_1x}{a^2} + \frac{y_1y}{b^2} = 1 $。
代换遵循与 圆锥曲线中调和共轭的等价条件 中类似的代换方式，即“半代换”。
（如图，直线 $ l: \frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1 $ 即为点 $ A(1,\frac{1}{2}) $ 关于椭圆 $ E:\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 $ 的极线）
显然的（好像也没那么显然），对于一个点有且仅有一条极线，对于一条直线也有且仅有一个极点。换言之，平面内的直线与点在极点极线理论下是单射的。
### 极点与极线的性质
#### 极点极线的几何性质
依旧以椭圆为例：
有椭圆 $ E:\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $。
1. 若点 $ P(x_0, y_0) $ 在椭圆 $ E $ 上，那么点 $ P $ 关于 $ E $ 的极线 $ l: \frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1 $ 为 $ E $ 在点 $ P $ 处的切线。
**证明**：$ P $ 在 $ E $ 上，显然有 $ \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1 $，故 $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1 + 1 $，配方得到 $ \frac{(x-x_0) ^ 2}{a^2} + \frac{(y-y_0) ^ 2}{b^2} = 2(1 - \frac{x_0x}{a^2} - \frac{y_0y}{b^2}) $，联立直线 $ l: \frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1 $，得到 $ \frac{(x-x_0) ^ 2}{a^2} + \frac{(y-y_0) ^ 2}{b^2} = 0 $，$ P(x_0, y_0) $ 是唯一的不同解，故 $ l $ 切 $ E $ 于 $ P $。
2. 若点 $ P(x_0, y_0) $ 在椭圆 $ E $ 上，那么点 $ P $ 关于 $ E $ 的极线 $ l: \frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1 $ 为点 $ P $ 关于 $ E $ 的切点弦。
**证明**：显然的，过点 $ P $ 可作两条与 $ E $ 相切的直线，设切点分别为 $ A(x_1, y_1),B(x_2, y_2) $。根据上一条性质，直线 $ PA $ 的方程为 $ \frac{x_1x}{a^2} + \frac{y_1y}{b^2} = 1 $，直线 $ PB $ 的方程为 $ \frac{x_2x}{a^2} + \frac{y_2y}{b^2} = 1 $，分别代入点 $ P(x_0, y_0) $，得到 $ \frac{x_1x_0}{a^2} + \frac{y_1y_0}{b^2} = 1, \frac{x_2x_0}{a^2} + \frac{y_2y_0}{b^2} = 1 $。那么对于点 $ P $ 的极线 $ l: \frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1 $，根据上面两个式子，定有 $ l $ 过点 $ A,B $，而两点确定一条直线，所以极线 $ l: \frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1 $ 就是直线 $ AB $ 的方程。
3. 若点 $ P(x_0, y_0) $ 在椭圆 $ E $ 内，过点 $ P $ 作直线 $ AB $ 交椭圆 $ E $ 于两点 $ A,B $，分别作椭圆 $ E $ 在点 $ A,B $ 处的切线，设两切线交于点 $ Q $，那么点 $ P $ 关于 $ E $ 的极线 $ l: \frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1 $ 为 $ Q $ 点的轨迹。
**证明**：设 $ Q(x_1,y_1) $，显然的，点 $ Q $ 在椭圆 $ E $ 外，直线 $ AB $ 即为点 $ Q $ 关于 $ E $ 的切点弦，根据上一条性质，方程即为 $ \frac{x_1x}{a^2} + \frac{y_1y}{b^2} = 1 $，而直线 $ AB $ 过点 $ p $，故有 $ \frac{x_0x_1}{a^2} + \frac{y_0y_1}{b^2} = 1 $。观察到，对于任意的点 $ Q(x_1, y_1) $，均有上式成立，于是 $ Q $ 定在直线 $ l: \frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1 $ 上。
#### 配极原理及其推论
这里规定，$ j(P) = p$，表示点 $ P $ 的极线为直线 $ p $；$ J(p) = P $，表示直线 $ p $ 的极点为点 $ P $。
**配极原理**：如果点 $ P $ 的极线经过点 $ Q $，那么点 $ Q $ 的极线经过点 $ P $。
即：若 $ j(P) $ 过点 $ Q $，那么 $ j(Q) $ 经过点 $ P $。
**证明**：对于二次曲线 $ E: Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 $，点 $ P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2) $，点 $ P $ 的极线为
$$ Ax_1x + By_1y + \frac{C}{2}(x_1y + xy_1) + \frac{D}{2}(y_1 + y) + F = 0 $$
点 $ Q $ 的极线为
$$ Axx_2 + Byy_2 + \frac{C}{2}(xy_2 + x_2y) + \frac{D}{2}(y + y_2) + F = 0 $$
前者过点 $ Q $ 的等价条件是 $ Ax_1x_2 + By_1y_2 + \frac{C}{2}(x_1y_2 + x_2y_1) + \frac{D}{2}(y_1 + y_2) + F = 0 $，后者过点 $ P $ 的等价条件显然也是如此。
在椭圆上更加直观：
对于椭圆 $ E:\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $，点 $ P $ 的极线方程为 $ \frac{x_1x}{a^2} + \frac{y_1y}{b^2} = 1 $，点 $ Q $ 的极线方程为 $ \frac{xx_2}{a^2} + \frac{yy_2}{b^2} = 1 $。结论显然成立。
**配极原理的推论**：两点连线的极点是两点极线的交点；两直线交点的极线是两直线极点的连线。
即：$ j(M) $ 与 $ j(N) $ 交于点 $ J(l_{MN}) $；$ l_{J(l_1)J(l_2)} $ 即为 $ j(l_1 \cap l_2)
证明与上面几条性质大同小异 （读者自证不难）。
圆锥曲线内接四边形
之后写。
自极三角形
之后写。
一些例题
参考资料：
[1] Mitsuki720 关于极点极线的定义、基本性质的基础释明 https://zhuanlan.zhihu.com/p/466812438
[2] 椰子羊 （含证明）极点极线和调和点列在高考中的应用 https://zhuanlan.zhihu.com/p/550288645
[3] 刘金堂 梳理圆锥曲线中极点极线的基本脉络（上） https://zhuanlan.zhihu.com/p/672460824
[4] 刘金堂 梳理圆锥曲线中极点极线的基本脉络（下）https://zhuanlan.zhihu.com/p/672725437