只是想要一个没背景的剪切板而已

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（2025 新高考 I 卷数学）19.（17 分）
设函数 f(x)=5\cos x-\cos 5x。
（1）求 f(x) 在 (0,\frac{\pi}{4}) 的最大值；
（2）给定 \theta\in(0,\pi)，设 a\in\R，证明：\exists y\in[a-\theta,a+\theta],\cos y\le\cos\theta；
（3）若存在 t 使得对任意 x，都有 5\cos x-\cos(5x+t)\le b，求 b 的最小值。

f'(x)=-5\sin x+5\sin 5x=0 5\sin 5x=5\sin x \sin 5x=\sin x 5x=x+2k\pi$ 或 $5x+x=2k\pi+\pi(k\in\Z) x=\frac{\pi}{6} f(\frac{\pi}{6})=3\sqrt 3

翻译：\forall\theta\in (0,\pi),a\in\R:\exists y\in[a-\theta,a+\theta]:\cos y\le\cos\theta

\cos y> \cos \theta\iff y\in(2k\pi-\theta,2k\pi+\theta)(k\in\Z)

若 \forall y\in[a-\theta,a+\theta]:\cos y>\cos\theta，则 [a-\theta,a+\theta]\subseteq(2k\pi-\theta,2k\pi+\theta)(k\in\Z)

两个的“长度”都是 2\theta，但是一个是开区间一个是闭区间

放不下！

矛盾，所以原命题成立。

翻译：求最小的 b 使得 \exists t\in\R:\forall x\in\in\R:5\cos x-\cos(5x+t)\le b。

再次翻译：求最小的 b 使得 \exists t\in\R:b\ge5\cos x-\cos(5x+t) 的最大值。

再再次翻译：变动 t，最小化 5\cos x-\cos(5x+t) 的最大值并求这个最大值。

第一问稍稍扩展一下可知 t=0 时最大值为 3\sqrt 3。

将 t 看成 \cos 5x 在相对于 5\cos x 移动。

如何证明？ 由（2）：$\exists 5x+t\in[t-\frac{5\pi}{6},t+\frac{5\pi}{6}]:\cos(5x+t) \le \cos\frac{5\pi}{6} \exists x\in[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]:\cos(5x+t) \le \cos\frac{5\pi}{6} \exists x\in\R:5\cos x-\cos(5x+t)\ge 5\cos \frac{\pi}{6}-\cos\frac{5\pi}{6}=3\sqrt 3

其最大值大于等于 3\sqrt 3。

所以就是 3\sqrt 3。