一个浙江卷题

· · 闲话

今天作业上有这么一个题: a_1=1,a_{n+1}=a_n-\frac{1}{3}a_n^2，证明0.025< a_{100}< 0.03。本来是选择题，有四个不交的范围让你选来着。

我们设个函数\alpha(n)来用连续近似离散，(\Delta a)(n)=-\frac{1}{3}a_n^2也就是\alpha^\prime=-\frac{1}{3}\alpha^2，除过去两边积分就是\alpha^{-1}=\frac{n}{3}+C。然后前几项误差比较大所以我们算一项，\alpha(2)=a_2=\frac{2}{3}，代入解出C，得到\alpha(100)比0.03小一点点，我啪的一下就选出正确答案了啊！@Gokix 直接被我吓住了啊！

如果你看过调和数积分近似的分析你应该知道这个是上界，考虑我们画个图，横轴是n纵轴是\alpha^\prime，那么本来应该是[n,n+1]这一段高度都是-\frac{1}{3}\alpha^2(n)，这样算出来是精确的，但是现在因为是连续的，它相当于在这一段里面\alpha一直在变小，所以\alpha^\prime的绝对值也一直在变小(而不是到整数处突变)，所以想象一下就知道它减的少了，所以给出上界。这里你可能会说它减的慢了所以剩的多，剩的多就会减的快，所以不一定啊！但是如果剩一样多的时候\alpha减的慢，那么它就永远比a大对吧，因为它不可能到a下面去。

现在问题是下界，我们发现当n\geq 2时有\frac{1}{3}\alpha^2(n+1)>\frac{1}{3}a_{n+1}^2=\frac{1}{3}a_n^2(1-\frac{1}{3}a_n)^2>\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{81}a_n^2，所以用\alpha^\prime=-\dfrac{1}{1-\frac{4}{81}}\cdot\frac{1}{3}\alpha^2就得到下界，具体你也可以画个图理解。算出来是0.027多。

上面这个明显算错数了。我没有找到很好的直接积分估计的下界证明。

不过关于它有几个有趣的问题，考虑延迟微分方程\alpha(2)=\frac{2}{3},\alpha^\prime(n)=-\frac{1}{3}\alpha^2(n-\frac{1}{2})，在[2,\infty)上

  1. 证明\alpha(n)>0,\alpha(\infty)\rightarrow 0。

  2. 证明或推翻\alpha(n)\leq a_n。

  3. 估计\alpha(100)。这个我不会

upd: lwla教我，这里我们可以直接分析绝对误差，这里据说代入\alpha(1)=1而不是\alpha(2)=\frac{2}{3}已经能得到非常好的结果了所以我们就选择前者因为形式简单。设d_n=\alpha(n)-a_n=\frac{3}{n+2}-a_n，那么a_{n+1}-a_n=-\frac{1}{3}a_n^2就是\frac{3}{n+3}-d_{n+1}-\frac{3}{n+2}+d_n=-\frac{1}{3}(\frac{3}{n+2}-d_n)^2，整理一下是d_{n+1}=\frac{n}{n+2}d_n+d_n^2+\frac{3}{(n+2)^2(n+3)}。瞪一眼。

lwla说zmwang教他这个东西如果忽略掉那个平方项应该是\frac{\ln n}{n^2}级别，那么我们就看看怎么分析出这一项的常数以及余项的级别。首先改写成(n+1)(n+2)d_{n+1}=n(n+1)d_n+(n+1)(n+2)d_n^2+\frac{3(n+1)}{(n+2)(n+3)}，我们知道a_n是O(\frac{1}{n})级别，所以d_n肯定也得是O(\frac{1}{n})的。用具体数学里面那个bootstrap方法，先代入d_n=O(\frac{1}{n})，得到(n+1)(n+2)d_{n+1}=n(n+1)d_n+O(1)，所以d_{n+1}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}O(n)。看起来没锤子用。等我补