基础绝对值不等式的拓展
Hope888
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文章灵感来自高中数学B版1册绝对值不等式
1. 简单绝对值不等式
这是一个绝对值不等式
\left|x\right|< 1
它的解集显而易见为
\left(-1,1\right)
太简单了是不是？
2. 基础绝对值不等式
\left|x-2\right|< 3
使用瞪眼法可以看出解集为
\left(-1,5\right)
可是这样一点都不简便
或许我们可以总结出一个公式？
2.1 基础绝对值不等式解析
首先将解分为2种情况：
- 负数
- 正数
对于负数，我们可以理解为 -2 帮我们在数轴上向左走了 2.
则还剩 3-2=1 需要由 x 走.
即左区间为 -1 (因为是负数所以要加负号).
对于正数，我们可以理解为 -2 让我们在数轴上向左退了 2.
则还剩 3+2=5 需要由 x 走.
即左区间为 5 (因为是正数所以为正).
所以解集为 \left(-1,5\right)
It's amazing, right?
2.2 基础绝对值不等式公式
对于 \left|x-a\right|< y
我们的想法还有效吗？
其实这个问题很简单.
只要把 2.1 中所有的常数换一下就好了.
则负数需要走 y-a 步，正数需要走 y+a 步.
那么解集为 \left(-(y-a),y+a\right)
结束了？(3. 中级绝对值不等式)
看到括号中的内容应该就知道没有这么简单了.
先看看这个式子
\left|x-1\right|+\left|x-2\right|< 4
再次利用瞪眼法可以看出解集为
\left(-0.5,3.5\right)
是不是没有这么明显了？
3.1 中级绝对值不等式解析
前面步骤和 2.1 差不多.
依然将 \left|x-1\right|+\left|x-2\right|< 4 分为两种情况
负数时可以理解为 -1 和 -2 帮 x 走了 1+2=3，还剩 4-3=1.
正数时可以理解为 -1 和 -2 让 x 退了 1+2=3，还剩 4+3=7.
那么解集为 \left(-1,7\right) 吗？
和 3. 的结果好像不相等？
再次观察 \left|x-1\right|+\left|x-2\right|< 4 ，看到有 2 个 x .
所以两个 x 平分要走的路程，解集应为 \left(-0.5,3.5\right)
3.2 中级绝对值不等式公式
和 2.2 也差不多
对于 \left|x-a\right|+\left|x-b\right|< y，替代常数后解集为
\left(-\frac{y-(a+b)}{2},\frac{y+(a+b)}{2}\right)
4.\infty 高级绝对值不等式
\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|+\left|x-4\right|+\left|x-5\right|< 114514
怎么解？
不可能再用瞪眼法了吧
1,2,3,4,5$ 可以看为负数前进 $15$ ,正数后退 $15$,那么解集为$\left(-\frac{114514-(1+2+3+4+5)}{5},\frac{114514+(1+2+3+4+5)}{5}\right)
公式这不就出来了
$\left(-\frac{y-(a_1+a_2+···a_n)}{n},\frac{y+(a_1+a_2+···a_n)}{n}\right)
Hack
感谢@AnomynousAt 的Hack数据，数据为 a=[1,2,3,4,5],y=8
这样的情况下，根据公式得到的解集为 (1.4,4.6) ,验算后发现结果错误
这是因为 1.4-1>0 这就导致 1 不能为多走的，所以请在计算完成过后判断解集的左区间是否小于所有数，右区间是否大于全部数
Tips
如果将不等式符号替换为 \leq ，解集变为开区间即可
如果将不等式符号替换为 \geq ，解集变为 < 解集的补集即可
如果将不等式符号替换为 > ，解集变为 \leq 解集的补集即可
结束了，再一次？
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