简单微积分
tonyre
·
2024-08-12 20:10:28
·
个人记录
本文将直接跳过极限等高等数学前置知识的相关学习，介绍不严谨 但有一定用处的简单微积分知识。本文大致面向学过或正在学习高中数学和物理的人群，微分部分基本给出了高中数学教材大部分导数相关结论的推导，并有一定拓展；积分部分较为简略，只介绍了基本计算方法；最后一部分介绍了微积分在高中物理中的简单应用，对高中物理相关公式的理解有一定帮助。
1 微分
1.1 定义
一元函数的微分又可以称作求导。求导在高中有所涉及，直接给出定义：
\begin{align}f'(x)&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\nonumber\end{align}
如果令 $y=f(x)$，则有如下微商形式的写法：
$$\begin{align}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=f'(x)\nonumber\end{align}$$
可以认为，这里的 $\mathrm{d}x$ 是自变量一段无穷小的增量，而 $\mathrm{d}y$ 是因变量相应的一段增量。对上式变形可以找到 $\mathrm{d}y$ 与 $\mathrm{d}x$ 的关系：
$$\begin{align}\mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x\nonumber\end{align}$$
## 1.2 求导法则
### 1.2.1 加法求导法则
$$\begin{align}(f(x)+g(x))'&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)-f(x)-g(x)}{\Delta x}\nonumber\end{align}$$
不难理解，极限均存在时，和的极限等于极限的和。所以：
$$\begin{align}
(f(x)+g(x))'&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x\to0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\nonumber\\
&=f'(x)+g'(x)\nonumber
\end{align}$$
同理可得减法求导法则：
$$\begin{align}(f(x)-g(x))'&=f'(x)-g'(x)\nonumber\end{align}$$
### 1.2.2 乘法求导法则
$$\begin{align}
(f(x)\cdot g(x))'&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x}\nonumber\\
&=\lim_{\Delta x\to0}g(x+\Delta x)\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x\to0}f(x)\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\nonumber
\end{align}$$
不难理解，极限均存在时，积的极限等于极限的积。所以：
$$\begin{align}
(f(x)\cdot g(x))'&=\lim_{\Delta x\to0}g(x+\Delta x)\times\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x\to0}f(x)\times\lim_{\Delta x\to0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\nonumber\\
&=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\nonumber
\end{align}$$
此外，乘法求导法则还可以借助图形理解。
> 设 $u=f(x)$，$v=g(x)$，$y=uv$，那么 $y$ 就等于长宽为 $u$ 和 $v$ 的矩形的面积，其增量就等于面积的增量。考虑自变量增加了 $\mathrm{d}x$，那么两个因变量分别增加了 $\mathrm{d}u$ 和 $\mathrm{d}v$。对应到图形上，就是新的矩形比起之前长宽分别增加了 $\mathrm{d}u$ 和 $\mathrm{d}v$。此时不难想象，$y$ 的增量即面积的增量，就是三个小矩形之和：
>
> $$\begin{align}
> \mathrm{d}y&=u\mathrm{d}v+v\mathrm{d}u+\mathrm{d}u\mathrm{d}v\nonumber\\
> &=f(x)g'(x)\mathrm{d}x+f'(x)g(x)\mathrm{d}x+f'(x)g'(x)\mathrm{d}^2x\nonumber
> \end{align}$$
>
> 变形成微商的形式：
>
> $$\begin{align}
> (f(x)g(x))'&=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)+f'(x)g'(x)\mathrm{d}x\nonumber
> \end{align}$$
>
> 考虑到 $\mathrm{d}x$ 是无穷小量，$f'(x)g'(x)\mathrm{d}x$ 可忽略不计：
>
> $$\begin{align}
> (f(x)g(x))'&=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)\nonumber
> \end{align}$$
### 1.2.3 除法求导法则
和 §1.2.2 类似，有：
$$\begin{align}
\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'&=\lim\limits_{\Delta x\to0}\left(\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}\right)\Delta x^{-1}\nonumber\\
&=\lim\limits_{\Delta x\to0}\left(\frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{g(x)g(x+\Delta x)}\right)\Delta x^{-1}\nonumber\\
&=\lim\limits_{\Delta x\to0}\left(\frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x)}{g(x)g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{g(x)g(x+\Delta x)}\right)\Delta x^{-1}\nonumber\\
&=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{1}{g(x+\Delta x)}\times\left(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}-\frac{f(x)}{g(x)}\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)\nonumber\\
&=\frac{1}{g(x)}\left(f'(x)-\frac{f(x)g'(x)}{g(x)}\right)\nonumber\\
&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\nonumber
\end{align}$$
在推导出乘法求导法则后，还可以这样考虑：
> 设 $u(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$，则 $u(x)\cdot g(x)=f(x)$。函数值处处相同的函数的导数显然相同。所以：
>
> $$\begin{align}
> (u(x)\cdot g(x))'&=f'(x)\nonumber\\
> u(x)g'(x)+u'(x)g(x)&=f'(x)\nonumber\\
> u(x)&=\frac{f'(x)-u'(x)g(x)}{g'(x)}\nonumber
> \end{align}$$
>
> 与 $u(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ 联立，得：
>
> $$\begin{align}
> \frac{f(x)}{g(x)}&=\frac{f'(x)-u'(x)g(x)}{g'(x)}\nonumber\\
> u'(x)&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\nonumber
> \end{align}$$
### 1.2.4 复合函数求导法则
复合函数求导法则又称作链式法则。
$$\begin{align}
(f(g(x)))'&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}\nonumber\end{align}$$
$\Delta x\to0$ 时，有 $\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\to g'(x)$，所以此时 $\Delta x\sim\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{g'(x)}\nonumber$。所以：
$$\begin{align}
(f(g(x)))'&=g'(x)\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}\nonumber
\end{align}$$
令 $u=g(x)$，$\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x)$，则 $\Delta x\to0$ 时 $\Delta u\to0$。所以：
$$\begin{align}
(f(g(x)))'&=g'(x)\lim_{\Delta u\to0}\frac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta u}\nonumber\\
&=g'(x)f'(u)\nonumber\\
&=f'(g(x))g'(x)\nonumber
\end{align}$$
链式法则可以用如下微商形式表示：
$$\begin{align}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\nonumber\end{align}$$
### 1.2.5 反函数求导法则
若 $y=f(x)$，则其反函数为 $x=f^{-1}(y)$。设 $y_1=f(x_1)$，$y_0=f(x_0)$，由反函数定义知 $x_1=f^{-1}(y_1)$，$x_0=f^{-1}(y_0)$，则：
$$\begin{align}
y_1-y_0&=f(x_1)-f(x_0)\nonumber\\
x_1-x_0&=f^{-1}(y_1)-f^{-1}(y_0)\nonumber
\end{align}$$
同理，设 $y+\Delta y=f(x+\Delta x)$，$y=f(x)$，则：
$$\begin{align}
\Delta y&=f(x+\Delta x)-f(x)\nonumber\\
\Delta x&=f^{-1}(y+\Delta y)-f^{-1}(y)\nonumber
\end{align}$$
所以：
$$\begin{align}
\left(f^{-1}(y)\right)'&=\lim\limits_{\Delta y\to0}\frac{f^{-1}(y+\Delta y)-f^{-1}(y)}{\Delta y}\nonumber\\
&=\lim\limits_{\Delta y\to0}\frac{\Delta x}{f(x+\Delta x)-f(x)}\nonumber\\
&=\left(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\right)^{-1}\nonumber\\
&=\frac{1}{f'(x)}\nonumber
\end{align}$$
上式忽略了 $f'(x)=0$ 的情况。若 $f'(x)=0$，则：
$$\begin{align}
\lim\limits_{\Delta y\to0}\frac{\Delta x}{f(x+\Delta x)-f(x)}=\lim\limits_{f'(x)\to 0}\frac{1}{f'(x)}=\infty\nonumber
\end{align}$$
此时极限不存在，所以 $x=f^{-1}(y)$ 在 $y'=0$ 时不可导。
反函数求导法则成立的原因还可以从几何关系考虑：
> 因为 $x=f^{-1}(y)$ 是 $y=f(x)$ 的反函数，所以它们关于 $y=x$ 对称。任取两组对称点，则各函数上两点确定的直线关于 $y=x$ 对称，则这两条直线的斜率互为倒数。在各函数上的两点无限接近时，其确定的直线的斜率相当于函数在此处的导数值。因为 $(y,x)$ 在 $y=f(x)$ 上，$(x,y)$ 在 $x=f^{-1}(y)$ 上且两点关于 $y=x$ 对称，所以 $y=f(x)$ 在 $x$ 处的导数与 $x=f^{-1}(y)$ 在 $y$ 处的导数互为倒数。
反函数求导法则可以用如下微商形式表示：
$$\begin{align}
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=1\nonumber
\end{align}$$
## 1.3 常见函数的导数
### 1.3.1 常函数
若 $f(x)=C$（$C$ 为常数），则：
$$\begin{align}
f'(x)&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{C-C}{\Delta x}\nonumber\\
&=0\nonumber
\end{align}$$
常函数求导公式结合乘法求导法则，可以推出一个常用性质。若 $k$ 为常数，则：
$$\begin{align}(kf(x))'&=kf'(x)\nonumber\end{align}$$
### 1.3.2 幂函数
**正整数指数幂**
若 $f(x)=x^n$（$n\in\mathbb{N^*}$），则：
$$\begin{align}
f'(x)&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\nonumber\\
&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}\nonumber
\end{align}$$
由二项式定理：
$$\begin{align}f'(x)&=\lim_{\Delta x\to0}\left(\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{C_n^ix^i\Delta x^{n-i}}{\Delta x}-\frac{x^n}{\Delta x}\right)\nonumber\\
&=\lim_{\Delta x\to0}\left(\sum\limits_{i=0}^{n-2}\frac{C_n^ix^i\Delta x^{n-i}}{\Delta x}+\frac{C_n^{n-1}x^{n-1}\Delta x}{\Delta x}+\frac{x^n}{\Delta x}-\frac{x^n}{\Delta x}\right)\nonumber\\
&=\lim_{\Delta x\to0}nx^{n-1}+\lim_{\Delta x\to0}\sum\limits_{i=0}^{n-2}x^i\Delta x^{n-i-1}\nonumber\\
&=nx^{n-1}+\sum\limits_{i=0}^{n-2}x^i\lim_{\Delta x\to0}\Delta x^{n-i-1}\nonumber
\end{align}$$
由 $n-i-1\ge1$ 知 $\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta x^{n-i-1}=0$。所以：
$$\begin{align}f'(x)&=nx^{n-1}+\sum\limits_{i=0}^{n-2}0\nonumber\\
&=nx^{n-1}\nonumber
\end{align}$$
**负整数指数幂**
若 $f(x)={x^{-n}}$（$n\in\mathbb{N}^*$），则 $\frac{1}{f(x)}=x^n$。所以：
$$\begin{align}\left(\frac{1}{f(x)}\right)'=\left(x^n\right)'\nonumber\end{align}$$
由除法法则：
$$\begin{align}\left(\frac{1}{f(x)}\right)'&=-\frac{f'(x)}{f^2(x)}\nonumber
\end{align}$$
又有 $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$。上式联立得：
$$\begin{align}
-\frac{f'(x)}{f^2(x)}&=nx^{n-1}\nonumber
\end{align}$$
所以：
$$\begin{align}
f'(x)&=-nx^{n-1}f^2(x)\nonumber\\
&=-nx^{-n-1}\nonumber
\end{align}$$
**根式**
若 $f(x)=x^{\frac{1}{n}}$（$n\in\mathbb{N}^*$），则 $f^n(x)=x$。所以：
$$\begin{align}
(f^n(x))'&=x'=1\nonumber
\end{align}$$
由链式法则：
$$\begin{align}
nf^{n-1}(x)f'(x)&=1\nonumber
\end{align}$$
所以：
$$\begin{align}
f'(x)&=\frac{1}{nf^{n-1}(x)}\nonumber\\
&=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\nonumber
\end{align}$$
**实数指数幂**
综合正、负整数指数幂的求导公式，可知若 $f(x)=x^n$（$n\in\mathbb{Z}$ 且 $n\neq0$），则：
$$\begin{align}
f'(x)&=nx^{n-1}\nonumber
\end{align}$$
那么，若 $f(x)=x^{\frac{p}{q}}$（$p\in\mathbb{Z}$ 且 $p\neq0$，$q\in\mathbb{N}$），则由链式法则：
$$\begin{align}
f'(x)&=\left((x^p)^{\frac{1}{q}}\right)'\nonumber\\
&=\frac{1}{q}(x^p)^{\frac{1}{q}-1}\cdotp(x^p)'\nonumber\\
&=\frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-p}\cdot x^{p-1}\nonumber\\
&=\frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}\nonumber
\end{align}$$
可以发现，整数指数幂的求导公式在有理数指数幂依然成立。不难理解，其对无理数指数幂依然成立（证明见 §1.3.5）。所以，若 $f(x)=x^n$（$n\neq0$），则：
$$\begin{align}
f'(x)&=nx^{n-1}\nonumber
\end{align}$$
注意，$n<1$ 时幂函数在 $x=0$ 处不可导。
### 1.3.3 三角函数
**正弦函数**
若 $f(x)=\sin x$，则：
$$\begin{align}
f'(x)&=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}\nonumber\\
&=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\sin x\cos\Delta x+\sin\Delta x\cos x-\sin x}{\Delta x}\nonumber
\end{align}$$
由 $\Delta x\to0$ 时 $\sin\Delta x\sim\Delta x$（物理经典近似，推导见 §3.5.1）且 $\cos\Delta x\to1$ 得：
$$\begin{align}
f'(x)&=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\sin x+\Delta x\cos x-\sin x}{\Delta x}\nonumber\\
&=\lim\limits_{\Delta x\to0}\cos x\nonumber\\
&=\cos x\nonumber
\end{align}$$
**余弦函数**
若 $f(x)=\cos x$，则：
$$\begin{align}
f'(x)&=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}\nonumber\\
&=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\cos x\cos\Delta x-\sin x\sin\Delta x-\cos x}{\Delta x}\nonumber\\
&=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\cos x-\Delta x\sin x-\cos x}{\Delta x}\nonumber\\
&=-\sin x\nonumber
\end{align}$$
**其他三角函数**
其他三角函数可以用正弦和余弦函数表示，综合运用求导法则即可求出。
$$\begin{align}
(\tan x)'&=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'\nonumber\\
&=\frac{\sin'x\cos x-\sin x\cos'x}{\cos^2x}\nonumber\\
&=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}\nonumber\\
&=1+\tan^2x\nonumber\\
&=\sec^2x\nonumber\\
(\cot x)'&=\left(\frac{1}{\tan x}\right)'\nonumber\\
&=\frac{(1)'\tan x-\tan'x}{\tan^2x}\nonumber\\
&=-\frac{\sec^2x}{\tan^2x}\nonumber\\
&=-\csc^2x\nonumber\\
(\sec x)'&=\left(\frac{1}{\cos x}\right)'\nonumber\\
&=\frac{(1)'\cos x-\cos'x}{\cos^2x}\nonumber\\
&=\frac{\sin x}{\cos^2x}\nonumber\\
&=\sec x\tan x\nonumber\\
(\csc x)'&=\left(\frac{1}{\sin x}\right)'\nonumber\\
&=\frac{(1)'\sin x-\sin'x}{\sin^2x}\nonumber\\
&=-\frac{\cos x}{\sin^2x}\nonumber\\
&=-\csc x\cot x\nonumber
\end{align}$$
### 1.3.4 指数函数
**以自然常数为底的指数函数**
给出自然常数 $\mathrm{e}$ 的定义式：
$$\begin{align}
\mathrm{e}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\nonumber
\end{align}$$
由 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta x=0$，$\lim\limits_{n\to\infty}n=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{1}{\Delta x}=\infty$ 得：
$$\begin{align}
\mathrm{e}=\lim\limits_{\Delta x\to0}(1+\Delta x)^{\frac{1}{\Delta x}}\nonumber
\end{align}$$
若 $f(x)=\mathrm{e}^x$，则：
$$\begin{align}
f'(x)&=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\mathrm{e}^{x+\Delta x}-\mathrm{e}^x}{\Delta x}\nonumber\\
&=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\left(\mathrm{e}^{\Delta x}-1\right)\mathrm{e}^x}{\Delta x}\nonumber\\
&=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\left(\left((1+\Delta x)^{\frac{1}{\Delta x}}\right)^{\Delta x}-1\right)\mathrm{e}^x}{\Delta x}\nonumber\\
&=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{(1+\Delta x-1)\mathrm{e}^x}{\Delta x}\nonumber\\
&=\mathrm{e}^x\nonumber
\end{align}$$
**任意指数函数**
若 $f(x)=a^x$（$a>0$ 且 $a\neq1$），则：
$$\begin{align}
f'(x)&=\left(\mathrm{e}^{x\ln a}\right)'\nonumber\\
&=\mathrm{e}^{x\ln a}\cdot(x\ln a)'\nonumber\\
&=a^x\ln a\nonumber
\end{align}$$
### 1.3.5 对数函数
**以自然常数为底的对数函数**
若 $f(x)=\ln x$，则：
$$\begin{align}
f'(x)&=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\ln(x+\Delta x)-\ln x}{\Delta x}\nonumber\\
&=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}{\Delta x}\nonumber
\end{align}$$
$\Delta x\to0$ 时，$\frac{\Delta x}{x}\to0$。由 $x\to 0$ 时 $\ln(1+x)\sim x$（经典近似，推导见 §3.5.1）知此时 $\ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)\sim\frac{\Delta x}{x}$。所以：
$$\begin{align}
f'(x)&=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x}{x\Delta x}\nonumber\\
&=\frac{1}{x}\nonumber
\end{align}$$
此外，可以运用反函数求导法则推导：
>因为 $\ln x$ 是 $\mathrm{e}^x$ 的反函数，若 $y=\ln x$，则 $x=\mathrm{e}^y$。所以：
>
>$$\begin{align}
>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right)^{-1}\nonumber\\
>&=\frac{1}{\mathrm{e}^y}\nonumber\\
>&=\frac{1}{\mathrm{e}^{\ln x}}\nonumber\\
>&=\frac{1}{x}\nonumber
>\end{align}$$
有了上面的一系列推导，可以证明实数指数幂的求导公式：
> 由复合函数求导法则、乘法求导法则和指数函数、对数函数求导公式得：
>
> $$\begin{align}
> \left(x^n\right)'&=\left(\mathrm{e}^{n\ln x}\right)'\nonumber\\
> &=x^n\cdot\frac{n}{x}\nonumber\\
> &=nx^{n-1}\nonumber
> \end{align}$$
**任意对数函数**
若 $f(x)=\log_a x$（$a>0$ 且 $a\neq1$），则：
$$\begin{align}
f'(x)&=\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)'\nonumber\\
&=\frac{1}{\ln a}\left(\ln x\right)'\nonumber\\
&=\frac{1}{x\ln a}\nonumber
\end{align}$$
### 1.3.6 反三角函数
**反正弦函数**
因为 $\arcsin x$ 是 $\sin x$ 的反函数，若 $y=f(x)=\sin x$（$-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$），则 $x=f^{-1}(y)=\arcsin y$。由反函数求导法则：
$$\begin{align}
\arcsin'(\sin x)&=\frac{1}{(\sin x)'}\nonumber\\
&=\frac{1}{\cos x}\nonumber
\end{align}$$
因为 $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$，此时 $\cos x\ge0$，$\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}$。所以：
$$\begin{align}
\arcsin'(\sin x)&=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 x}}\nonumber
\end{align}$$
换元得：
$$\begin{align}
(\arcsin x)'&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\nonumber
\end{align}$$
注意，由于反正弦函数定义域为 $[-1,1]$，其在 $x=\pm1$ 处不可导。
**反余弦函数**
因为 $\arccos x$ 是 $\cos x$ 的反函数，若 $y=f(x)=\cos x$（$0\le x\le\pi$），则 $x=f^{-1}(y)=\arccos y$。由反函数求导法则：
$$\begin{align}
\arccos'(\cos x)&=\frac{1}{(\cos x)'}\nonumber\\
&=-\frac{1}{\sin x}\nonumber
\end{align}$$
因为 $0\le x\le\pi$，此时 $\sin x\ge0$，$\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}$。所以：
$$\begin{align}
\arccos'(\cos x)&=-\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2 x}}\nonumber
\end{align}$$
换元得：
$$\begin{align}
(\arccos x)'&=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\nonumber
\end{align}$$
注意，由于反余弦函数定义域为 $[-1,1]$，其在 $x=\pm1$ 处不可导。
**其他反三角函数**
其他反三角函数求导方法与上面一致，不再赘述。
## 1.4 导数的应用
### 1.4.1 微分中值定理
定义单边极限 $\lim\limits_{x\to x_0^{-}}f(x)$ 和 $\lim\limits_{x\to x_0^{+}}f(x)$ 分别指 $x$ 趋近于 $x_0$ 且其始终小于和大于 $x_0$ 时 $f(x)$ 的极限值。
不难理解，当连续函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域上有定义时，$\lim\limits_{x\to x_0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^{+}}f(x)=f(x_0)$。
**罗尔中值定理**
若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导，且 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$。
证明如下：
> 不难理解 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有最值。设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值、最大值分别为 $\alpha$ 和 $\beta$。
>
> 若 $\alpha=\beta$，$f(x)$ 为常函数，结论显然成立。
>
> 若 $\alpha<\beta$，不妨设 $f(\xi)=\alpha$（$\xi\in(a,b)$），则对于任意 $x\in[a,b]$，$f(x)-f(\xi)\ge0$，则 $\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 非正或非负是 $\Delta x$ 非正或非负的充要条件。不难理解极限具有保号性：
>
> $$\begin{align}
> \lim\limits_{\Delta x\to0^-}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}&\le0\nonumber\\
> \lim\limits_{\Delta x\to0^+}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}&\ge0\nonumber
> \end{align}$$
>
> 由于函数连续，又有：
>
> $$\begin{align}
> f'(\xi)=\lim\limits_{\Delta x\to0^-}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0^+}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\nonumber
> \end{align}$$
>
> 所以 $f'(\xi)=0$。
>
> 综上，结论成立。
**拉格朗日中值定理**
若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
证明如下：
> 设 $\varphi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$，则 $\varphi(a)=\varphi(b)=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a}$。由罗尔中值定理，存在 $\xi\in(a,b)$ 使得：
>
> $$\begin{align}
> \varphi'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\nonumber
> \end{align}$$
>
> 即 $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
**柯西中值定理**
若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。
该定理的证明方法同拉格朗日中值定理，不再赘述。
### 1.4.2 洛必达法则
未完待续。
### 1.4.3 泰勒公式
定义一个函数的导函数为 $1$ 阶导数，$n$ 阶导数的导函数为 $n+1$ 阶导数。特别地，一个函数的 $0$ 阶导数为它本身。记 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数为 $f^{(n)}(x)$。
定义一个点 $x_0$ 的邻域 $U(x_0,\delta)=(x_0-\delta,x_0+\delta)$，去心邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta)=(x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta)$，其中 $\delta>0$。
除非特殊说明，以下均假设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 $n$ 阶可导，自变量的取值范围是 $[a,b]$。
**泰勒公式的形式**
泰勒公式将任意函数表示为多项式函数与余项之和的形式：
$$\begin{align}
f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)\nonumber
\end{align}$$
这一变形称作将 $f(x)$ 在 $x_0$ 处泰勒展开，其中 $n$ 表示利用泰勒公式展开出多项式的阶数，$R_n(x)$ 称作余项。下面讨论余项的性质。
**拉格朗日余项**
若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上 $n+1$ 阶可导，则在 $x_0$ 和 $x$ 之间存在 $\xi$ 使：
$$\begin{align}
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\nonumber
\end{align}$$
这样表示的余项称作拉格朗日余项，该存在性定理称作泰勒中值定理。证明如下：
> 设 $h_n(u)=f(x)-\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(u)}{k!}(x-u)^k$，$r_n(u)=(x-u)^{n+1}$，则 $h_n(x)=r_n(x)=0$。又有：
>
> $$\begin{align}
> h_n'(u)&=-\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\left(f^{(k+1)}(u)\cdot(x-u)^k-f^{(k)}(u)\cdot k(x-u)^{k-1}\right)\nonumber\\
> &=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}(u)}{(k-1)!}(x-u)^{k-1}-\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{f^{(k)}(u)}{(k-1)!}(x-u)^{k-1}\nonumber\\
> &=-\frac{f^{(n+1)}(u)}{n!}(x-u)^n\nonumber\\
> r_n'(u)&=-(n+1)(x-u)^n\nonumber
> \end{align}$$
>
> 不妨设 $x>x_0$，由柯西中值定理，存在 $\xi\in(x_0,x)$ 使：
>
> $$\begin{align}
> \frac{h_n(x_0)}{r_n(x_0)}&=\frac{h_n(x_0)-h_n(x)}{r_n(x_0)-r_n(x)}=\frac{h_n'(\xi)}{r_n'(\xi)}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\nonumber
> \end{align}$$
>
> 即 $h_n(x_0)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}r_n(x_0)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$。
**佩亚诺余项**
若 $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$，则称在 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小。
记 $o(f(x))$ 为 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 的高阶无穷小，则：
$$\begin{align}
R_n(x)=o((x-x_0)^n)\nonumber
\end{align}$$
这样表示的余项称作佩亚诺余项。证明如下：
> 暂缺。
还可以从拉格朗日余项方面考虑（这要求 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上 $n+1$ 阶可导）：
> 因为 $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{n+1}}{(x-x_0)^{n}(n+1)!}=0$，所以拉格朗日余项 $\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ 是 $(x-x_0)^n$ 的高阶无穷小，结论显然成立。
佩亚诺余项还可以表示为 $o(1)(x-x_0)^n$，证明如下：
> 因为：
>
> $$\begin{align}
> \lim\limits_{x\to x_0}\frac{o(f(x))}{f(x)}&=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{o(1)f(x)}{f(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{o(1)}{1}=0\nonumber
> \end{align}$$
>
> 所以 $x\to x_0$ 时 $o(f(x))\sim o(1)f(x)$，所以 $R_n=o((x-x_0)^n)=o(1)(x-x_0)^n$。
**泰勒公式的应用**
**函数近似** 泰勒公式的多项式部分可以用于近似大部分函数。设函数 $f(x)$ 任意阶可导，其泰勒展开到 $n$ 阶后余项为 $R_n(x)$。不难理解，若对于任意 $x\in[a,b]$ 都有 $\lim\limits_{n\to+\infty}R_n(x)=0$，则 $f(x)$ 上任意一处都可以用泰勒公式任意阶近似。阶数越大，误差越小。
可以证明，对于任意 $x\in(a,b)$ 都有 $f^{(n)}(x)$ 在 $n\to+\infty$ 时存在极限是上述命题的充分条件：
> 因为：
>
> $$\begin{align}
> 0<\frac{(x-x_0)^n}{n!}<\frac{(x-x_0)^n}{n^n}\nonumber
> \end{align}$$
>
> 又有：
>
> $$\begin{align}
> \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{(x-x_0)^n}{n^n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{x-x_0}{n}\right)^n=0\nonumber
> \end{align}$$
>
> 由夹逼准则：
>
> $$\begin{align}
> \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{(x-x_0)^n}{n!}=0\nonumber
> \end{align}$$
>
> 又有对于任意 $\xi\in(a,b)$ 都有 $f^{(n)}(\xi)$ 在 $n\to+\infty$ 时存在极限，所以对于任意 $x\in[a,b]$，在 $x_0$ 和 $x$ 之间存在 $\xi$ 使：
>
> $$\begin{align}
> \lim\limits_{n\to+\infty}R_n(x)=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}=\lim\limits_{n\to+\infty}f^{(n)}(\xi)\cdot\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{(x-x_0)^n}{n!}=0\nonumber
> \end{align}$$
因为 $\mathrm{e}^x$ 的任意阶导数均为 $\mathrm{e}^x$，所以指数函数可以用泰勒公式近似。
因为 $\sin x$ 的 $n$ 阶导数为：
$$\begin{align}
\begin{cases}
\sin x&n\equiv0\space(\mathrm{mod}\space4)\\
\cos x&n\equiv1\space(\mathrm{mod}\space4)\\
-\sin x&n\equiv2\space(\mathrm{mod}\space4)\\
-\cos x&n\equiv3\space(\mathrm{mod}\space4)\\
\end{cases}\nonumber
\end{align}$$
所以正弦函数可以用泰勒公式近似。同理，余弦函数可以用泰勒公式近似。
对数函数、实数指数幂函数只在一定范围内可以任意阶近似。这一范围的计算方法较为复杂，本文将直接给出结论：若选择 $x_0>0$ 为 $f(x)=x^\alpha$ 或 $f(x)=\ln x$ 的展开点，则 $f(x)$ 在 $U(x_0,x_0)$ 上可以用泰勒公式任意阶近似。
在 $0$ 处泰勒展开得到的公式称作麦克劳林公式。可以得出以下函数的麦克劳林公式（推导见 §3.5.2）：
$$\begin{align}
\mathrm{e}^x&=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\nonumber\\
\sin x&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})\nonumber\\
\cos x&=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})\nonumber\\
\ln(1+x)&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+o(x^{n+1})\nonumber\\
(1+x)^\alpha&=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)\nonumber
\end{align}$$
在实际情况中运用泰勒公式求近似值时，一般会先对式子做一些处理以套用麦克劳林公式，方便计算。例如，可以将 $\ln x$ 表示为 $k\ln2+\ln(1+t)$，满足 $x=2^k(1+t)$，$k\in\mathbb{N}$ 且 $t\in[0,1)$。如果对精度有较高要求，可以考虑令 $1+t=\frac{1+u}{1-u}$，于是 $\ln(1+t)=\ln(1+u)-\ln(1-u)$，其中 $u=\frac{t}{t+2}\in\left[0,\frac{1}{3}\right)$。
**大小关系** 运用泰勒公式可以证明一些不等式。下面关于函数的增减性、极值的不等式推导均运用了泰勒公式。
### 1.4.4 函数的增减性
若 $f(x)$ 在一段区间 $I$ 上有定义，且对于任意 $x_1<x_2$（$x_1,x_2\in I$）都有 $f(x_1)\le f(x_2)$ 或 $f(x_1)\ge f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上递增或递减。
若上面的不等式不取等号依然成立，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递增或单调递减。
研究函数的增减性可以刻画出函数图象的大致走向，分析函数的趋势。下面证明函数增减性的充要条件。
**增减性充要条件**
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导：
* $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上递增，当且仅当对于任意 $x\in(a,b)$ 都有 $f'(x)\ge0$；
* $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递增，当且仅当对于任意 $x\in(a,b)$ 都有 $f'(x)>0$；
* $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上递减，当且仅当对于任意 $x\in(a,b)$ 都有 $f'(x)\le0$；
* $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递减，当且仅当对于任意 $x\in(a,b)$ 都有 $f'(x)<0$。
第一种情况的充分性证明如下：
> 任取 $x_1,x_2\in[a,b]$ 且 $x_1<x_2$。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi\in(x_1,x_2)$ 使得：
> $$\begin{align}
> \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}&=f'(\xi)\ge0\nonumber
> \end{align}$$
> 所以：
>
> $$\begin{align}
> f(x_1)-f(x_2)&=f'(\xi)(x_1-x_2)\le0\nonumber
> \end{align}$$
> 即 $f(x_1)\le f(x_2)$。
带拉格朗日余项的 $0$ 阶泰勒展开和拉格朗日中值定理的形式是一致的，所以也可以认为上面运用了泰勒公式。
第一种情况的必要性证明如下：
> 假设 $f'(x_0)<0$ 且 $x_0\in(a,b)$。在 $\mathring{U}(x_0,\delta)\subseteq(a,b)$ 内对 $f(x)$ 在 $x_0$ 处泰勒展开：
>
> $$\begin{align}
> f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)\nonumber
> \end{align}$$
>
> 所以：
>
> $$\begin{align}
> f(x)-f(x_0)=(x-x_0)(f'(x_0)+o(1))\nonumber
> \end{align}$$
>
> 因为 $f'(x_0)<0$ 且 $x\to x_0$ 时 $o(1)\to0$，所以无论 $f'(x_0)$ 多小，总存在 $\delta'\in(0,\delta]$ 使对于任意 $x\in\mathring{U}(x_0,\delta')$ 都有 $|o(1)|<|f'(x_0)|=-f'(x_0)$。所以存在 $x>x_0$ 使得 $f'(x_0)+o(1)<0$，此时 $f(x)<f(x_0)$。这与前提矛盾，必要性得证。
其他情况的证明方法同上，不再赘述。
### 1.4.5 函数的极值
若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域上有定义，且存在 $\delta>0$ 使对于任意 $x\in \mathring{U}(x_0,\delta)$ 都有 $f(x)\le f(x_0)$ 或 $f(x)\ge f(x_0)$，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的极大值点或极小值点（统称极值点）。
若上面的不等式不取等号，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的严格极大值点或严格极小值点。
不难理解，一个函数如果有最值，必然在其边界或极值点上取到。所以，求极值点对于求函数最值有重要帮助。下面证明极值点的必要和充分条件。
**极值点必要条件**
若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $x_0$ 为 $f(x)$ 的极值点，则 $f'(x_0)=0$。
这一定理的证明方法是罗尔中值定理的一部分证明过程相同，不再赘述。
**极值点第一充分条件**
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，在 $\mathring{U}(x_0,\delta)$ 上可导：
* 若对于任意 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 都有
f'(x)\ge0，且对于任意 x\in(x_0,x_0+\delta) 都有 f'(x)\le0，则 x_0 是 f(x)$ 的极大值点；
若对于任意 x\in(x_0-\delta,x_0) 都有
f'(x)>0 ，且对于任意 x\in(x_0,x_0+\delta) 都有 f'(x)<0 ，则 x_0 是 f(x) 的严格极大值点；
若对于任意 x\in(x_0-\delta,x_0) 都有
f'(x)\le0 ，且对于任意 x\in(x_0,x_0+\delta) 都有 f'(x)\ge0 ，则 x_0 是 f(x) 的极小值点；
若对于任意 x\in(x_0-\delta,x_0) 都有
f'(x)<0 ，且对于任意 x\in(x_0,x_0+\delta) 都有 f'(x)>0 ，则 x_0 是 f(x) 的严格极小值点。
第一种情况的推导如下：
由条件可知 f(x) 在 (x_0-\delta,x_0] 上递增，在 [x_0,x_0+\delta] 上递减，所以 x\in(x_0-\delta,x_0) 时 f(x)\le f(x_0) ，x\in(x_0,x_0+\delta) 时 f(x)\le f(x_0) ，即对于任意 x\in \mathring{U}(x_0,\delta) 都有 f(x)\le f(x_0) 。
其他情况的推导方法同上，不再赘述。
运用这一充分条件求极值点常见于一些特殊的分段函数。例如 f(x)=|x| ，其极值点为 0 ，此处连续但不可导。
极值点第二充分条件
设 f(x) 在 U(x_0,\delta) 上一阶可导，在 x_0 处二阶可导，且 f'(x)=0 ，f''(x)\ne0 ：
若 f''(x)<0 ，则 x_0 是 f(x) 的严格极大值点；
若 f''(x)>0 ，则 x_0 是 f(x) 的严格极小值点。
第二种情况的证明如下：
在 x_0 处对 f(x) 泰勒展开：
f(x)&=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+o\left((x-x_0)^2\right)\nonumber\\
&=f(x_0)+\left(\frac{1}{2}f''(x_0)+o(1)\right)(x-x_0)^2\nonumber
\end{align}
因为 f''(x_0)>0 且 x\to x_0 时 o(1)\to0 ，所以无论 f''(x_0) 多小，总存在 \delta'\in(0,\delta] 使对于任意 x\in\mathring{U}(x_0,\delta') 都有 \left|o(1)\right|<\left|\frac{1}{2}f''(x_0)\right|=\frac{1}{2}f''(x_0) 。所以存在 x_0 的去心邻域使得 \frac{1}{2}f''(x_0)+o(1)>0 恒成立。
所以，存在 \delta'\in(0,\delta] 使对于任意 x\in\mathring{U}(x_0,\delta') 都有：
f(x_0)&=f(x)-\left(\frac{1}{2}f''(x_0)+o(1)\right)(x-x_0)^2<f(x)\nonumber
\end{align}
所以 x_0 是 f(x) 的严格极小值点。
第一种情况的证明方法同上，不再赘述。
极值点第三充分条件
设 f(x) 在 U(x_0,\delta) 上 n-1 阶可导，在 x_0 处 n 阶可导，且 f^{(1)}(x_0)=f^{(2)}(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0 ，f^{(n)}(x_0)\ne0 ：
当 n 为偶数时：
若 f^{(n)}(x_0)<0 ，则 x_0 是 f(x) 的严格极大值点；
若 f^{(n)}(x_0)>0 ，则 x_0 是 f(x) 的严格极小值点。
当 n 为奇数时，x_0 不是 f(x) 的极值点。
可以采用证明第二充分条件的方法推导：
在 x_0 处对 f(x) 泰勒展开：
f(x)&=f(x_0)+\left(\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)+o(1)\right)(x-x_0)^n\nonumber
\end{align}
同理可知，存在 $\delta'\in(0,\delta]$ 使对于任意 $x\in\mathring{U}(x_0,\delta')$ 都有 $\left|o(1)\right|<\left|\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)\right|$ 即 $\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)+o(1)$ 恒正或恒负。又有 $(x-x_0)^n$ 在 $x_0$ 左右侧的正负性相反，所以在这一去心邻域上 $x_0$ 左右侧的函数值与 $f(x_0)$ 的大小关系是相反的，所以 $x_0$ 不是 $f(x)$ 的极值点。
1.4.6 函数的凹凸性
若 f(x) 在一段区间 I 上有定义，且对于任意 x_1,x_2\in I 和 t\in(0,1) 都有 f(tx_1+(1-t)x_2)\ge tf(x_1)+(1-t)f(x_2) 或 f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2) ，则称 f(x) 在 I 上是上凸或下凸函数。
若 x_1\neq x_2 时上面的不等式不取等号依然成立，则称 f(x) 在 I 上是严格上凸或严格下凸函数。
在本节接下来的内容中，约定 I 是区间。
凹凸性第一充要条件
上凸和下凸这两个定义在几何上可以理解为 f(x) 的图象在 I 上的任意两点所连线段上的点的纵坐标都小于等于或大于等于函数图象上与其横坐标相等的点的纵坐标。以上凸函数为例：
取任意的 x_1,x_2\in I ，不妨设 x_1<x_2 。由几何关系：
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)+f(x_1)\le f(x)\nonumber
\end{align}
其中 x\in(x_1,x_2) 。令 t=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}\in(0,1) ，则 x=tx_1+(1-t)x_2 。于是：
&\frac{(x-x_1)f(x_2)+(x_2-x)f(x_1)-(x_2-x_1)f(x)}{x_2-x_1}\le0\nonumber\\
\Longleftrightarrow&(x_2-x_1)[(1-t)f(x_2)+tf(x_1)-f(tx_1+(1-t)x_2)]\le0\nonumber\\
\Longleftrightarrow&tf(x_1)+(1-t)f(x_2)\le f(tx_1+(1-t)x_2)\nonumber
\end{align}
这一充要条件可以表述为：
对于严格凹凸函数，需要去掉上面的不等式的等号。
进一步可以看成函数上定点与函数上任意一点连线的斜率的增减性，即：
对于严格凹凸函数，g(x) 在 I 上单调递增或递减。
还可以发现，当 x_1<x_2<x_3 时，\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\le\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} 是 \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\le\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\le\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} 的充要条件。证明如下：
令 a=f(x_3)-f(x_1) ，b=x_3-x_1 ，c=f(x_2)-f(x_1) ，d=x_2-x_1 。因为 x_3>x_2>x_1 ，所以 b,d,b-d>0 。所以：
\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\le\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}&\Longleftrightarrow\frac{a}{b}\le\frac{c}{d}\nonumber\\
&\Longleftrightarrow ad\le bc\nonumber\\
&\Longleftrightarrow b(a-c)\le a(b-d)\nonumber\\
&\Longleftrightarrow\frac{a-c}{b-d}\le\frac{a}{b}\le\frac{c}{d}\nonumber\\
&\Longleftrightarrow\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\le\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\le\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\nonumber
\end{align}
同理，\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\ge\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} 是 \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\ge\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\ge\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} 的充要条件。
所以，这一充要条件还能看成函数任意三点之间连线的斜率大小关系：
凹凸性第二充要条件
函数的凹凸性还可以体现在函数的切线与函数图象的位置关系。设 f(x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 上可导：
对于严格凹凸函数，需要去掉上面的不等式的等号。
第二种情况的充分性证明如下：
任取 x_1<t_1<x_0<t_2<x_2\in[a,b] 。因为 f(x) 在 [a,b] 上是下凸函数，由凹凸性第一充要条件知：
\frac{f(x_0)-f(t_1)}{x_0-t_1}\ge\frac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0-x_1}\nonumber\\
\frac{f(t_2)-f(x_0)}{t_2-x_0}\le\frac{f(x_2)-f(x_0)}{x_2-x_0}\nonumber
\end{align}
不难理解，极限具有保不等式性：
f'(x_0)=\lim\limits_{t_1\to x_0^-}\frac{f(x_0)-f(t_1)}{x_0-t_1}\ge\frac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0-x_1}\nonumber\\
f'(x_0)=\lim\limits_{t_2\to x_0^+}\frac{f(t_2)-f(x_0)}{t_2-x_0}\le\frac{f(x_2)-f(x_0)}{x-x_0}\nonumber
\end{align}
所以对于任意 x_0\in(a,b) 和 x\in[a,b] 都有 f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) （x=x_0 时显然成立）。
第二种情况的必要性证明如下：
任取 x_1<x_2<x_3\in[a,b] ，则：
f(x_1)\ge f'(x_2)(x_1-x_2)+f(x_2)\nonumber\\
f(x_3)\ge f'(x_3)(x_3-x_2)+f(x_2)\nonumber
\end{align}
所以：
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\le\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\nonumber
\end{align}
类似凹凸性第一充要条件中不等式的推导可得：
\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\ge\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\ge\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\nonumber
\end{align}
所以 f(x) 在 [a,b] 上是下凸函数。
这一充要条件也称作凸函数的分离性定理。
凹凸性第三充要条件
设 f(x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 上可导：
对于严格凹凸函数，f'(x) 在 (a,b) 上单调递增或递减。
第一种情况的充分性证明如下：
任取 t_1<x_1<x_2<t_2\in[a,b] ，由凹凸性第一充要条件：
\frac{f(t_1)-f(x_1)}{t_1-x_1}\ge\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\ge\frac{f(x_2)-f(t_2)}{x_2-t_2}\nonumber
\end{align}
所以：
f'(x_1)=\lim\limits_{t_1\to x_1^-}\frac{f(t_1)-f(x_1)}{t_1-x_1}\ge\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\ge\lim\limits_{t_2\to x_2^+}\frac{f(x_2)-f(t_2)}{x_2-t_2}=f'(x_2)\nonumber
\end{align}
即 f'(x) 在 (a,b) 上递增。
第一种情况的必要性证明如下：
任取 x_1<x_0<x_2\in[a,b] ，由拉格朗日中值定理，存在 \xi_1\in(x_1,x_0),\xi_2\in(x_0,x_2) 使得：
\frac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0-x_1}=f'(\xi_1)\ge f'(x_1)\nonumber\\
\frac{f(x_0)-f(x_2)}{x_0-x_2}=f'(\xi_2)\le f'(x_2)\nonumber
\end{align}
所以：
f(x_1)\le f'(x_1)(x_1-x_0)+f(x_0)\nonumber\\
f(x_2)\le f'(x_2)(x_2-x_0)+f(x_0)\nonumber
\end{align}
所以对于任意 x_0\in(a,b),x\in[a,b] 都有 f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) （x=x_0 时显然成立），由凹凸性第二充要条件知 f(x) 是上凸函数。
琴生不等式
从更简单的直观上可以这样定义凹凸函数：
若对于任意 x_1,x_2\in I （x_1\neq x_2 ）都有 f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\ge\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} ，则称 f(x) 在 I 上是上凸函数；
若对于任意 x_1,x_2\in I （x_1\neq x_2 ）都有 f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} ，则称 f(x) 在 I 上是下凸函数。
对于严格凹凸函数，需要去掉上面的不等式的等号。
可以证明，对于任意 x_1,x_2\in I （x_1\neq x_2 ）都有 f(\frac{x_1+x_2}{2})\ge\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} 等价于对于任意 x_1,x_2,\cdots,x_n\in I （x_1\neq x_2\neq\cdots\neq x_n ）都有 f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)\ge\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n} ：
这一结论的必要性显然成立，下面证明充分性。
暂缺。
于是，上面的定义还可以写成：
若对于任意 x_1,x_2,\cdots,x_n\in I （x_1\neq x_2\neq\cdots\neq x_n ）都有 f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)\ge\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n} ，则称 f(x) 在 I 上是上凸函数；
若对于任意 x_1,x_2,\cdots,x_n\in I （x_1\neq x_2\neq\cdots\neq x_n ）都有 f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)\le\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n} ，则称 f(x) 在 I 上是下凸函数。
对于严格凹凸函数，需要去掉上面的不等式的等号。
显然，满足本节开头的定义是满足这一定义的充分条件。所以：
若 f(x) 在 I 上是严格上凸函数，则对于任意 x_1,x_2,\cdots,x_n\in I 都有 f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)\ge\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n} ；
若 f(x) 在 I 上是严格下凸函数，则对于任意 x_1,x_2,\cdots,x_n\in I 都有 f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)\le\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n} 。
当且仅当 x_1=x_2=\cdots=x_n 时等号成立。这组不等式称作琴生不等式。
可以证明，当 f(x) 在 I 上连续时，本节给出的两个凹凸性定义是等价的：
暂缺。
琴生不等式的应用
琴生不等式可以用于证明均值不等式，即对于任意 a_1,a_2,\cdots,a_n>0 都有 \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} ，当且仅当 a_1=a_2\cdots=a_n 时等号成立。证明如下：
设 f(x)=\ln x 。因为 f''(x)=-\frac1{x^2}<0 ，所以 f'(x) 单调递减，所以 f(x) 是严格上凸函数。由琴生不等式，对于任意 a_1,a_2,\cdots,a_n>0 都有：
\ln\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge\frac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}\nonumber
\end{align}
即 \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} ，当且仅当 a_1=a_2\cdots=a_n 时等号成立。
1.4.7 导数的几何应用
切线方程
未完待续。
曲率半径
未完待续。
2 积分
2.1 微积分基本定理
定积分一般用于求一个函数在一段区间内的有向面积（带正负的面积，下简称面积）。若要求 f(x) 在 [a,b] 内的面积，考虑将函数的面积近似为许多宽为 \Delta x （\frac{b-a}{\Delta x}\in\mathbb{N}^* ），左边连接坐标轴与函数的矩形，那么这些矩形的面积和为：
\sum_{k=0}^{\frac{b-a}{\Delta x}-1}f(a+k\Delta x)\Delta x\nonumber
\end{align}
不难理解，\Delta x\to0 时，这些矩形的面积和无限趋近于函数的面积。规定用 \int_a^b f(x)\mathrm{d}x 表示 f(x) 在 [a,b] 内的面积（f(x) 在 [a,b] 内有定义），则：
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x&=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\sum_{k=0}^{\frac{b-a}{\Delta x}-1}f(a+k\Delta x)\Delta x\nonumber
\end{align}
设存在 F'(x)=f(x) ，则 f(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x} 。所以 \Delta x\to0 时，f(x)\Delta x\sim F(x+\Delta x)-F(x) 。所以：
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x&=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\sum_{k=0}^{\frac{b-a}{\Delta x}-1}F(a+(k+1)\Delta x)-F(x+k\Delta x)\nonumber\\
&=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\left(F\left(a+\frac{b-a}{\Delta x}\cdot\Delta x\right)-F(x+0\cdot \Delta x)\right)\nonumber\\
&=F(b)-F(a)\nonumber
\end{align}
该等式建立了微分与定积分的关系，称作微积分基本定理，又称牛顿—莱布尼茨公式。
观察公式可知，求定积分的关键在于求原函数。求原函数称作求不定积分，规定求 f(x) 以 x 为自变量的不定积分写作 \int f(x)\mathrm{d}x 。若 F'(x)=f(x) ，则：
\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C\nonumber
\end{align}
其中 C 为常数。显然，常数的取值不会影响等式右侧部分的导函数是左侧积分式中的函数。
2.2 常见函数的积分
在 §1.3 中推导出一些函数的导函数后，结合求导法则不难知道：
\left(\frac{1}{n+1}x^{n+1}\right)'&=x^n\nonumber\\
\left(\mathrm{e}^x\right)'&=\mathrm{e}^x\nonumber\\
\left(-\cos x\right)'&=\sin x\nonumber\\
\left(\sin x\right)'&=\cos x\nonumber\\
\left(\tan x\right)'&=\sec^2x\nonumber\\
\left(-\cot x\right)'&=\csc^2x\nonumber\\
(\arcsin x)'&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\nonumber\\
(\arccos x)'&=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\nonumber
\end{align}
需要注意，幂函数要求 n\neq-1 。
结合上式，根据不定积分的定义，有：
\int x^n\mathrm{d}x&=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\nonumber\\
\int\mathrm{e}^x\mathrm{d}x&=\mathrm{e}^x+C\nonumber\\
\int\sin x\mathrm{d}x&=-\cos x+C\nonumber\\
\int\cos x\mathrm{d}x&=\sin x+C\nonumber\\
\int\sec^2x\mathrm{d}x&=\tan x+C\nonumber\\
\int\csc^2x\mathrm{d}x&=-\cot x+C\nonumber\\
\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x&=\arcsin x+C\nonumber\\
\int-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x&=\arccos x+C\nonumber
\end{align}
其中 n\ne-1 。
考虑 n=-1 的情况，对 \frac{1}{x} 求不定积分。不难知道，x>0 时 (\ln x)'=\frac{1}{x} ，x<0 时 (\ln-x)'=\frac{1}{x} 。所以：
\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x&=\ln|x|+C\nonumber
\end{align}
2.3 积分法则
除非特殊说明，以下均默认函数存在原函数。
2.3.1 基本积分法则
由定积分定义和求极限法则：
\int_a^b(f(x)\pm g(x))\mathrm{d}x\nonumber&=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\sum_{k=0}^{\frac{b-a}{\Delta x}-1}(f(a+k\Delta x)\pm g(a+k\Delta x))\Delta x\nonumber\\
&=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\left(\sum_{k=0}^{\frac{b-a}{\Delta x}-1}f(a+k\Delta x)\Delta x\pm\sum_{k=0}^{\frac{b-a}{\Delta x}-1}g(a+k\Delta x)\Delta x\right)\nonumber\\
&=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\sum_{k=0}^{\frac{b-a}{\Delta x}-1}f(a+k\Delta x)\Delta x\pm\lim\limits_{\Delta x\to 0}\sum_{k=0}^{\frac{b-a}{\Delta x}-1}g(a+k\Delta x)\Delta x\nonumber\\
&=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\pm\int_a^b g(x)\mathrm{d}x\nonumber
\end{align}
同理，若 k 为常数，则：
\int_a^b kf(x)\mathrm{d}x=k\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\nonumber
\end{align}
所以，有以下不定积分法则：
\int(f(x)\pm g(x))\mathrm{d}x&=\int f(x)\mathrm{d}x\pm\int g(x)\mathrm{d}x\nonumber\\
\int kf(x)\mathrm{d}x&=k\int f(x)\mathrm{d}x\nonumber
\end{align}
2.3.2 换元积分法
第一类换元积分法
根据微分关系 \mathrm{d}g(x)=g'(x)\mathrm{d}x ，不难理解：
\int f(g(x))g'(x)\mathrm{d}x=\int f(g(x))\mathrm{d}g(x)\nonumber
\end{align}
灵活运用基本积分法则和上式来凑微分可以有效计算部分积分。
例 2.3-1 求 \tan x 和 \cos^3 x 的不定积分。
由基本积分法则和第一类换元积分法：
\int\tan x\mathrm{d}x&=\int\frac{\sin x}{\cos x}\mathrm{d}x\nonumber\\
&=-\int\frac{1}{\cos x}\mathrm{d}(\cos x)\nonumber
\end{align}
由 \int\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln|x|+C 知 \int\frac{1}{\cos x}\mathrm{d}(\cos x)=\ln|\cos x|+C 。所以：
\int\tan x\mathrm{d}x&=-\ln|\cos x|+C\nonumber
\end{align}
同理，由基本积分法则和第一类换元积分法：
\int\cos^3x\mathrm{d}x&=\int\cos^2 x\cdot\cos x\mathrm{d}x\nonumber\\
&=\int\cos^2 x\mathrm{d}(\sin x)\nonumber\\
&=\int\left(1-\sin^2 x\right)\mathrm{d}(\sin x)\nonumber\\
&=\int\mathrm{d}(\sin x)-\int\sin^2 x\mathrm{d}(\sin x)\nonumber
\end{align}
由 \int\mathrm{d}f(x)=\int f'(x)\mathrm{d}x=f(x)+C 知 \int\mathrm{d}(\sin x)=\sin x+C ，由 \int x^2\mathrm{d}x=\frac{1}{3}x^3 知 \int\sin^2 x\mathrm{d}(\sin x)=\frac{1}{3}\sin^3 x+C 。所以：
\int\cos^3x\mathrm{d}x&=\sin x-\frac{1}{3}\sin^3 x+C\nonumber
\end{align}
由微积分基本定理可知，定积分可以直接运用第一类换元积分法，无需改变积分限。
第二类换元积分法
考虑 f(x) 的不定积分，若 x=g(t) ，则：
\int f(x)\mathrm{d}x&=\int f(g(t))g'(t)\mathrm{d}t\nonumber
\end{align}
若 f(g(t))g'(t) 有原函数 A(t) ，又有 t=g^{-1}(x) ，所以：
\int f(x)\mathrm{d}x&=A\left(g^{-1}(x)\right)+C\nonumber
\end{align}
在代换掉 x 后的函数十分容易求积分的情况下，可以使用第二类换元积分法。
例 2.3-2 求 \frac{x}{\left(a^2-x^2\right)\sqrt{a^2-x^2}} 和 \frac{1}{\left(a^2-x^2\right)\sqrt{a^2-x^2}} 的不定积分。
考虑到 x\in(-a,a) ，令 x=a\sin t （t\in(\arcsin-1,\arcsin1) ）即 t=\arcsin\frac{x}{a} ，由换元积分法：
\int\frac{x}{\left(a^2-x^2\right)\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x&=\int\frac{a\sin t}{\left(a^2-a^2\sin^2t\right)^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}(a\sin t)\nonumber\\
&=\int\frac{a\sin t}{a^3\cos^3t}\cdot a\cos t\mathrm{d}t\nonumber\\
&=-\frac{1}{a}\int\frac{1}{\cos^2t}\mathrm{d}(\cos t)\nonumber\\
&=\frac{1}{a\cos t}+C\nonumber
\end{align}
因为 -\frac{\pi}{2}\le t\le\frac{\pi}{2} ，所以 \cos t=\sqrt{1-\sin^2t} 。所以：
\int\frac{x}{\left(a^2-x^2\right)\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x&=\frac{1}{a\sqrt{1-\sin^2(\arcsin\frac{x}{a})}}+C\nonumber\\
&=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}+C\nonumber
\end{align}
同理：
\int\frac{1}{\left(a^2-x^2\right)\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x&=\int\frac{1}{\left(a^2-a^2\sin^2x\right)^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}(a\sin t)\nonumber\\
&=\int\frac{1}{a^3\cos^3t}\cdot a\cos t\mathrm{d}t\nonumber\\
&=\frac{1}{a^2}\int\sec^2t\mathrm{d}t\nonumber\\
&=\frac{1}{a^2}\tan t+C\nonumber\\
&=\frac{\sin(\arcsin\frac{x}{a})}{a^2\sqrt{1-\sin^2(\arcsin\frac{x}{a})}}+C\nonumber\\
&=\frac{x}{a^2\sqrt{a^2-x^2}}+C\nonumber
\end{align}
这是典型的利用三角变换的换元积分。类似地，还可以利用 1+\tan^2x=\sec^2x 来简化带有 a^2+x^2 形式的函数的积分。
由微积分基本定理可知，利用第二类换元积分法求定积分时，需要改变积分限：
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x&=\int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}f(g(t))g'(t)\mathrm{d}t\nonumber
\end{align}
需要注意，此时可能存在积分限上限小于下限的情况。
2.3.3 分部积分法
由乘法求导法则知 \mathrm{d}(f(x)\cdot g(x))=f(x)g'(x)\mathrm{d}x+f'(x)g(x)\mathrm{d}x ，对等式两侧同时积分：
\int\mathrm{d}(f(x)\cdot g(x))=f(x)\cdot g(x)&=\int\left(f(x)\cdot g'(x)+f'(x)\cdot g(x)\right)\mathrm{d}x\nonumber\\
&=\int f(x)g'(x)\mathrm{d}x+\int f'(x)g(x)\mathrm{d}x\nonumber
\end{align}
所以：
\int f(x)g'(x)\mathrm{d}x&=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm{d}x\nonumber
\end{align}
令 u=f(x) ，v=g(x) ，则：
\int u\mathrm{d}v&=uv-\int v\mathrm{d}u\nonumber
\end{align}
例 2.3-3 求 \ln x 的不定积分。
由分部积分法：
\int\ln x\mathrm{d}x&=x\ln x-\int x\mathrm{d}(\ln x)\nonumber\\
&=x\ln x-\int x\cdot \frac{1}{x}\mathrm{d}x\nonumber\\
&=x\ln x-x+C\nonumber
\end{align}
例 2.3-3 求 \mathrm{e}^x\sin x 的不定积分。
由分部积分法：
\int\mathrm{e}^x\sin x\mathrm{d}x&=\int\sin x\mathrm{d}(\mathrm{e}^x)\nonumber\\
&=\mathrm{e}^x\sin x-\int\mathrm{e}^x\mathrm{d}(\sin x)\nonumber\\
&=\mathrm{e}^x\sin x-\int\cos x\mathrm{d}(\mathrm{e}^x)\nonumber\\
&=\mathrm{e}^x\sin x-\mathrm{e}^x\cos x+\int\mathrm{e}^x\mathrm{d}(\cos x)\nonumber\\
&=\mathrm{e}^x\sin x-\mathrm{e}^x\cos x-\int\mathrm{e}^x\sin x\mathrm{d}x\nonumber
\end{align}
所以：
\int\mathrm{e}^x\sin x\mathrm{d}x&=\frac{\mathrm{e}^x\sin x-\mathrm{e}^x\cos x}{2}+C\nonumber
\end{align}
2.4 积分的应用
2.4.1 积分中值定理
未完待续。
2.4.2 积分的几何应用
未完待续。
2.4.3 简单微分方程
未完待续。
3 微积分的物理应用
3.1 物理计算的微积分应用
3.1.1 矢量微积分
未完待续。
3.1.2 小量近似
未完待续。
3.2 运动学与动力学
3.2.1 速度、加速度、位移关系
给出速度、加速度的定义式：
\vec{v}&=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\nonumber\\
\vec{a}&=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\nonumber
\end{align}
所以：
\mathrm{d}\vec{r}&=\vec{v}\mathrm{d}t\nonumber\\
\mathrm{d}\vec{v}&=\vec{a}\mathrm{d}t\nonumber
\end{align}
两侧同时积分：
\int_a^b\mathrm{d}\vec{r}&=\vec{r_b}-\vec{r_a}=\int_a^b\vec{v}\mathrm{d}t\nonumber\\
\int_a^b\mathrm{d}\vec{v}&=\vec{v_b}-\vec{v_a}=\int_a^b\vec{a}\mathrm{d}t\nonumber
\end{align}
匀变速直线运动 当 a 为常数且加速度方向一定时，则：
v(t)-v(0)&=\int_0^t a\mathrm{d}t\nonumber\\
&=at\nonumber\\
x(t)-x(0)&=\int_0^t v(t)\mathrm{d}t\nonumber\\
&=\int_0^t(v(0)+at)\mathrm{d}t\nonumber\\
&=v(0)t+\frac{1}{2}at^2\nonumber
\end{align}
这就是匀变速直线运动公式。
圆周运动与曲线运动 未完待续。
牵连速度 求导可以证明，两个受绳、杆牵连的点的速度，它们沿绳、杆的分速度相等。证明的思想可以参考以下情境。
例 3.2-1 一根绳在更高的平台上拉着小船水平运动，绳子速度为 v_0 。求绳在平台外部分与水平面夹角为 \theta 时船的速度 v 。
取船正前方、绳拐点正下方的点为原点，以船运动方向为 x 轴正方向，竖直向上为 y 轴正方向。设船与原点距离为 x ，绳在平台内部分与原点距离为 h ，绳在平台外的长度为 l ，由几何关系：
x^2+h^2=l^2\nonumber
\end{align}
两侧对 t 求导：
2x\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+2h\frac{\mathrm{d}h}{dt}&=2l\frac{\mathrm{d}l}{dt}\nonumber
\end{align}
不难理解，船与原点的距离 x 关于 t 的导数为船靠近原点的速度 v ，平台外绳长 l 关于 t 的导数为绳收缩的速度 v_0 ，而 h 为常数，其关于 t 的导数为 0 。所以：
v&=\frac{l}{x}v_0\nonumber
\end{align}
由几何关系：
v&=\frac{v_0}{\cos\theta}\nonumber
\end{align}
在这一情境中，船沿绳的分速度 v\cos\theta 等于绳的速度 v_0 。不难看出，这一情境具有普适性。
3.2.2 能量
未完待续。
3.2.3 动量与角动量
未完待续。
3.3 电磁学
3.3.1 高斯定理
未完待续。
3.3.2 场强、电势关系
未完待续。
3.3.3 电容
未完待续。
3.4 简单微分方程的物理应用
例 3.4-1 一个质量为 m 的雨滴由静止从空中下落，受到的阻力大小 f=kv^2 （k 为比例系数），方向与运动方向相反。在雨滴落地之前，求雨滴加速度大小 a 、速度大小 v 和下落高度 h 关于时间 t 的函数。
以重力加速度方向为正方向。由牛顿第二定律：
mg-kv^2=m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\nonumber
\end{align}
假设 mg>kv^2 恒成立，则：
\mathrm{d}t=\frac{m\mathrm{d}v}{mg-kv^2}\nonumber
\end{align}
两侧同时积分：
t&=\int\frac{m}{mg-kv^2}\mathrm{d}v\nonumber\\
&=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{g}}\int\left(\frac{1}{\sqrt{k}v+\sqrt{mg}}-\frac{1}{\sqrt{k}v-\sqrt{mg}}\right)\mathrm{d}v\nonumber\\
&=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{kg}}\left(\int\frac{\mathrm{d}(\sqrt{k}v+\sqrt{mg})}{\sqrt{k}v+\sqrt{mg}}-\int\frac{\mathrm{d}(\sqrt{k}v-\sqrt{mg})}{\sqrt{k}v-\sqrt{mg}}\right)\nonumber\\
&=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{kg}}\left(\ln\left(\sqrt{mg}+\sqrt{k}v\right)-\ln\left(\sqrt{mg}-\sqrt{k}v\right)\right)+t_0\nonumber
\end{align}
由初始条件 t=0 时 v=0 得 t_0=0 。所以：
t&=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{kg}}\ln\frac{\sqrt{mg}+\sqrt{k}v}{\sqrt{mg}-\sqrt{k}v}\nonumber
\end{align}
所以：
v=\sqrt{\frac{mg}{k}}\left(1-\frac{2}{\mathrm{e}^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}+1}\right)\nonumber
\end{align}
经检验，其符合假设。所以：
a&=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{4\cdot\mathrm{e}^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}}{\left(\mathrm{e}^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}+1\right)^2}g\nonumber\\
h&=\int\sqrt{\frac{mg}{k}}\left(1-\frac{2}{\mathrm{e}^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}+1}\right)\mathrm{d}t\nonumber\\
&=\sqrt{\frac{mg}{k}}\left(\int\mathrm{d}t-\sqrt{\frac{m}{kg}}\int\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}}{\mathrm{e}^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}\left(\mathrm{e}^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}+1\right)}\right)\nonumber\\
&=\sqrt{\frac{mg}{k}}t-\frac{m}{k}\int\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}}{\mathrm{e}^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}}+\frac{m}{k}\int\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}+1\right)}{\mathrm{e}^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}+1}\nonumber\\
&=-\sqrt{\frac{mg}{k}}t+\frac{m}{k}\ln\left(\mathrm{e}^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}+1\right)+h_0\nonumber
\end{align}
由初始条件 t=0 时 h=0 得 h_0=-\frac{m}{k}\ln2 。所以：
h&=-\sqrt{\frac{mg}{k}}t+\frac{m}{k}\ln\frac{\mathrm{e}^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}+1}{2}\nonumber
\end{align}
未完待续。
4 附录
4.1 求极限法则
该部分介绍上文推导中用过的求极限法则。除非特殊说明，以下均假设极限存在（不为正无穷或负无穷）。
4.1.1
若 C 为常数，则：
\lim\limits_{x\to n}C=C
\end{align}
设连续函数 f(x) 的定义域为 S ，若 n\in S ，则：
\begin{align}\lim\limits_{x\to n}f(x)=f(n)\end{align}
4.1.2
\lim\limits_{x\to n}\left(f(x)\pm g(x)\right)&=\lim\limits_{x\to n}f(x)\pm\lim\limits_{x\to n}g(x)\\
\lim\limits_{x\to n}f(x)\cdot g(x)&=\lim\limits_{x\to n}f(x)\cdot\lim\limits_{x\to n}g(x)\\
\lim\limits_{x\to n}\frac{f(x)}{g(x)}&=\frac{\lim\limits_{x\to n}f(x)}{\lim\limits_{x\to n}g(x)}\space\left(\lim\limits_{x\to n}g(x)\neq0\right)
\end{align}
4.2 导数公式
4.2.1
(u\pm v)'&=u'\pm v'\\
(uv)'&=u'v+uv'\\
(u/v)'&=(u'v-uv')/v^2
\end{align}
4.2.2
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}&=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}&=1
\end{align}
4.2.3
(C)'&=0\\
(x^n)'&=nx^{n-1}\\
(\sin x)'&=\cos x\\
(\cos x)'&=-\sin x\\
(\tan x)'&=\sec^2x\\
(\cot x)'&=-\csc^2x\\
(\sec x)'&=\sec x\tan x\\
(\csc x)'&=-\csc x\cot x\\
(a^x)'&=a^x\ln a\\
(\log_a x)'&=\frac{1}{x\ln a}\\
(\arcsin x)'&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
(\arccos x)'&=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\end{align}
4.3 泰勒公式
4.3.1
带有佩亚诺余项的泰勒公式：
f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)
\end{align}
4.3.2
\mathrm{e}^x&=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\\
\sin x&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})\\
\cos x&=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})\\
\ln(1+x)&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+o(x^{n+1})\\
(1+x)^\alpha&=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)
\end{align}
4.4 积分公式
4.4.1
\int x^n\mathrm{d}x&=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\ne-1)\\
\int\mathrm{e}^x\mathrm{d}x&=\mathrm{e}^x+C\\
\int\sin x\mathrm{d}x&=-\cos x+C\\
\int\cos x\mathrm{d}x&=\sin x+C\\
\int\sec^2x\mathrm{d}x&=\tan x+C\\
\int\csc^2x\mathrm{d}x&=-\cot x+C\\
\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}&=\arcsin x+C\\
\int-\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}&=\arccos x+C\\
\int \frac{\mathrm{d}x}{x}&=\ln|x|+C
\end{align}
4.4.2
\int(f(x)\pm g(x))\mathrm{d}x&=\int f(x)\mathrm{d}x\pm\int g(x)\mathrm{d}x\\
\int kf(x)\mathrm{d}x&=k\int f(x)\mathrm{d}x
\end{align}
4.4.3
第一类换元积分法
\int f(x)g'(x)\mathrm{d}x&=\int f(g(x))\mathrm{d}g(x)\\
\int_a^b f(x)g'(x)\mathrm{d}x&=\int_a^b f(g(x))\mathrm{d}g(x)
\end{align}
第二类换元积分法
若 x=g(t) ，f(g(t))g'(t) 有原函数 A(t) ，则：
\int f(x)\mathrm{d}x&=\int f(g(t))g'(t)\mathrm{d}t=A(g^{-1}(x))+C\\
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x&=\int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}f(g(t))g'(t)\mathrm{d}t=A(g^{-1}(b))-A(g^{-1}(a))
\end{align}
分部积分法
\int u\mathrm{d}v&=uv-\int v\mathrm{d}u
\end{align}
4.5 拓展推导
4.5.1 经典近似
这里介绍几个等价无穷小关系。
正弦函数近似
在平面直角坐标系 xOy 中作出单位圆，圆心为 O 。单位圆与 x 轴正半轴交于点 A 。在单位圆上取一点 B ，其位于第一象限。过点 B 且垂直于 x 轴的直线交 x 轴于点 C 。过点 A 且垂直于 x 轴的直线交直线 OB 于 D 。设 OA 与 OB 的夹角为 x （0<x<\frac{\pi}{2} ），则：
&|OA|=1\nonumber\\
&|BC|=\sin x\nonumber\\
&|AD|=\tan x\nonumber
\end{align}
所以：
&S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}|OA||BC|=\frac{1}{2}\sin x\nonumber\\
&S_{扇形AOB}=\frac{1}{2}x|OA|^2=\frac{1}{2}x\nonumber\\
&S_{\triangle AOD}=\frac{1}{2}|OA||AD|=\frac{1}{2}\tan x\nonumber
\end{align}
由几何关系：
S_{\triangle AOB}<S_{扇形AOB}<S_{\triangle AOD}\nonumber
\end{align}
上式联立得：
&\sin x<x<\tan x\nonumber\\
\Longrightarrow&1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}\nonumber\\
\Longrightarrow&\cos x<\frac{\sin x}{x}<1\nonumber
\end{align}
因为 \lim\limits_{x\to0}\cos x=1 ，由夹逼准则：
\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\nonumber
\end{align}
所以 x\to0 时：
\sin x\sim x
\end{align}
自然对数近似
因为：
\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}&=\lim\limits_{x\to0}\ln\left((1+x)^{\frac{1}{x}}\right)\nonumber\\
&=\lim\limits_{x\to0}\ln\mathrm{e}\nonumber\\
&=1\nonumber
\end{align}
所以 x\to0 时：
\ln(1+x)\sim x
\end{align}
4.5.2 常用函数的泰勒公式
未完待续。