数学杂题分享 10
周子衡
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个人记录
若正整数 n 满足对 n 的所有正约数 d，都有 d(d+1)\mid n(n+1)，则称 n 是 奇特 的。证明：任意四个互不相同的奇特的数没有大于 1 的公因数。
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设 n 是一个奇特数。我们来证明
引理 对 n 的任意正约数 d，有 (d+1)\mid \dfrac{n}{d}(\dfrac{n}{d}-1)。
证明 d(d+1)\mid n(n+1)\Leftrightarrow (d+1)\mid \dfrac{n}{d}(n+1)。又注意到 n+1=(d+1)\dfrac{n}{d}-(\dfrac{n}{d}-1)，故证毕。\square
由此得出，对任意 n 的正约数 d\neq n，有 d < n^{2/3}。故对 n 的任意质因数 p，有 p > n^{1/3}，这样 n 至多是两个质因子的乘积。我们接下来逐一分类讨论。
全体质数显然都是好数。质数平方是好数需要 p+1\mid 2，这是不可能的。接下来讨论两个不同质数乘积的情况，设 n=pq 且 p < q。我们有
(p+1)\mid q(q-1)
(q+1)\mid p(p-1)
经检验 p=2,q=3 并非一个好数。若不是这样，那么 p+1 < q，上面第一个式子中一定有 (p+1,q)=1，我们得到 (p+1)\mid q-1。第二个式子中如果 p\nmid q+1，那么 (q+1)\mid p-1，与 q > p 矛盾。故
q\equiv 1 \pmod{p+1}\\
q\equiv -1\pmod{p}
由于 (p,p+1)=1，解这个同余方程组得
q\equiv p^2-p-1\pmod{p(p+1)}
由于 q < p^2，只能有 q=p^2-p-1。综上我们得到了
性质 一个正整数是好数当且仅当它是 1，质数，或者质数 p,q 的乘积，其中 q=p^2-p-1 且 q > p。\square
任取四个好数，如果都被某个质数 p 整除，那么经过上面的论证只有三个不同的取值，必有两个相同的。故证毕。题目中的四个也是最优的取值：可以注意到 (5,3\times 5,5\times 19) 都是好数。
来源 本文来自于刚刚结束的 EGMO 2024。