题解：P1091 [NOIP 2004 提高组] 合唱队形

Jerry_zpl · 2025-02-20 20:27:48 · 题解

本题考查算法：动态规划。
首先我们可以根据题目中说的 t 数组得知：这题让我们求最长上升子序列的长度和最长下降子序列的最大长度。那么我们就用 dp 四步法来求。

• 定义状态：dp1_i 表示以第 i 个人结尾的最长上升序列的长度。dp2_i 表示表示以第 i 个人结尾的最长下降序列的长度。
• 确定答案：题目要让出列的人尽可能的少就说明要让和尽可能大，所以答案就是 dp1_i+dp2_i-1。因为会重复算一个人，所以要减一。
• 求状态转移方程：

if(a[i]>a[j])//a[j]是a[i]的队伍,a[j]可以拼在a[i]前面。
{
    dp1[i]=max(dp1[i],dp1[j]+1);//长度+1，再取最大值
}

这是上升子序列的代码，下降子序列的求法反之，可以从后往前找最长上升自学列，这样就相当于下降，这里不再展示。

• 边界条件：dp1_i=dp2_i=1。因为最少有 1 人符合要求，也就是 a_i 本身。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[105],f[105],a[105];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        dp[i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            if(a[i]>a[j]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
        } 
    }
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        f[i]=1;
        for(int j=n;j>i;j--)
        {
            if(a[i]>a[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
        } 
    }
    int maxi=INT_MIN;
    for(int i=1;i<=n;i++) maxi=max(maxi,dp[i]+f[i]-1);
    cout<<n-maxi;
    return 0;
}