欧几里得
Querainy
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个人记录
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反证法。如果$f$不满足条件，可以注意到$f(\alpha)-f(0),f(1)-f(1-\alpha)$肯定是同号的，不妨假设是$>0$，那么$f(\alpha)>0,f(1-\alpha)<0$。$f(x+\alpha)-f(x)$不能有零点，所以$f(x+\alpha)>f(x)$。
可以注意到$f(1-\alpha)-f(0),f(1)-f(\alpha)$肯定是同号的，由于前面不妨假设了，这里肯定是都$<0$。所以$f(x+1-\alpha)<f(x)$，也就是说$f(x-(1-\alpha))>f(x)$。
对$\alpha$和$1-\alpha$做辗转相除/欧几里得算法。如果这个辗转相除停止了，说明$\alpha$是有理数，这就说明了$f(x)>f(x)$，矛盾。如果它永远不会停止，那么对于任意$\varepsilon$，我们都能在这个过程中得到$p,q$满足$0<p\alpha+q(1-\alpha)<\varepsilon$。
如果$p>0,q<0$，我们就知道，这个过程生成的$p,q$满足，对于任意$x$，有$f(x+p\alpha+q(1-\alpha))>f(x)$。（这里有个问题是每一步是$+\alpha$或者$-(1-\alpha)$，可能会离开$[0,1]$，但是可以注意到对于每个$x\in[0,1]$，我们有$x+\alpha,x-(1-\alpha)$至少有一个$\in[0,1]$，所以是没有问题的）
否则肯定是$p<0,q>0$，那也没关系，我们知道对于任意$x$，有$f(x+p\alpha+q(1-\alpha))<f(x)$。如果辗转相除没能生成无穷对$p,q$满足$p>0,q<0$，就必然生成了无穷对满足$p<0,q>0$，只需取无穷多的那一种，不妨假设是前者。
我们不仅可以得到任意小的线性组合，还可以得到任意接近某个数的线性组合，如果要得到和$t$的差$<\varepsilon$的线性组合，只需找到$0<p\alpha+q(1-\alpha)<\varepsilon$，取$k=\lfloor\frac{t}{p\alpha+q(1-\alpha)}\rfloor$，那么$kp\alpha+kq(1-\alpha)$就是满足要求的。
现在证明$f$单增。对于任意$x_1<x_2$，我们可以找到一系列$e_n=p_n\alpha+q_n(1-\alpha)\to x_2-x_1$，且根据刚才所说的，对于每个$e_n$，都有$f(x_1)<f(x_1+e_n)$，而$x_1+e_n\to x_2$，所以根据连续函数极限的保号性，有$f(x_1)\leq f(x_2)$。
又有$f(0)=f(1)$，所以我们知道$f$必然是常函数。但是常函数显然满足条件，矛盾。