一元三次方程求根公式推导

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正文

ax^3+bx^2+cx+d=0

消二次项

\text{令}x=y-\frac{b}{3a} \text{关于为什么令}x=y-\frac{b}{3a},\text{见附录，有很多种方法} \text{代入，展开，得(不用仔细看，知道个结果就行)：} \begin{aligned} a(y-\frac{b}{3a})^3+b(y-\frac{b}{3a})^2+c(y-\frac{b}{3a})+d & =0 \\ a(y^3-\frac{b^3}{27a^3}-3y^2\cdot\frac{b}{3a}+3y\cdot\frac{b^2}{9a^2})+b(y^2+\frac{b^2}{9a^2}-\frac{2by}{3a})+cy-\frac{bc}{3a}+d & =0 \\ a(y^3-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{b}{a}\cdot y^2+\frac{b^2}{3a^2}\cdot y)+b(y^2+\frac{b^2}{9a^2}-\frac{2b}{3a}\cdot y)+cy-\frac{bc}{3a}+d & =0 \\ y^3-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{b}{a}\cdot y^2+\frac{b^2}{3a^2}\cdot y+\frac{b}{a}(y^2+\frac{b^2}{9a^2}-\frac{2b}{3a}\cdot y)+\frac{c}{a}\cdot y-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a} & =0 \\ y^3-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{b}{a}\cdot y^2+\frac{b^2}{3a^2}\cdot y+\frac{b}{a}\cdot y^2+\frac{b^3}{9a^3}-\frac{2b^2}{3a^2}\cdot y+\frac{c}{a}\cdot y-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a} & =0 \\ y^3+\frac{b^2}{3a^2}\cdot y-\frac{2b^2}{3a^2}\cdot y+\frac{c}{a}\cdot y-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{3b^3}{27a^3}-\frac{9abc}{27a^3}+\frac{27a^2d}{27a^3} & =0 \\ y^3+\frac{3ac}{3a^2}\cdot y-\frac{b^2}{3a^2}\cdot y+\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3} & =0 \\ y^3+\frac{3ac-b^2}{3a^2}\cdot y+\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3} & =0 \\ y^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}\cdot y+\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3} & =0 \\ \end{aligned} \text{令 }p=-\frac{b^2-3ac}{3a^2},q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3} y^3+py+q=0

解不含二次项的方程

\text{观察公式}(u+v)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3 \text{提公因式，得},(u+v)^3=u^3+3uv(u+v)+v^3 \text{移项，得},(u+v)^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)=0 \text{发现}y^3+py+q=0\text{与}(u+v)^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)=0\text{可以一一对应} \text{令}y=u+v,\text{则}-3uv=p,u^3+v^3=-q \text{只需解方程组：} \begin{cases} -3uv=p \text{①}\\ u^3+v^3=-q \text{②} \end{cases} \text{由①}： \begin{aligned} uv & =-\frac{3}{p} \\ u^3v^3 & =-(\frac{3}{p})^3 \end{aligned} \text{由②}： u^3=-q-v^3 \text{把}u^3=-q-v^3\text{代入}u^3v^3=-(\frac{3}{p})^3 \begin{aligned} v^3(-q-v^3) & =-(\frac{3}{p})^3 \\ -qv^3-(v^3)^2 & =-(\frac{3}{p})^3 \\ qv^3+(v^3)^2 & =(\frac{3}{p})^3 \\ (v^3)^2+qv^3-(\frac{3}{p})^3 & =0 \end{aligned} \text{注意到如果把}v^3\text{看成一个整体，那么这其实这是一个关于}v^3\text{一元二次方程} \text{代入一元二次方程求根公式，得:} \begin{aligned} v^3 & =\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & =\frac{-q\pm\sqrt{q^2-4\times1\times[-(\frac{3}{p})^3]}}{2}\\ & =\frac{-q\pm\sqrt{q^2+4\times(\frac{3}{p})^3}}{2}\\ & =-\frac{q}{2}\pm\frac{\sqrt{q^2+4\times(\frac{3}{p})^3}}{2}\\ & =-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\frac{q^2}{4}+(\frac{3}{p})^3}\\ & =-\frac{q}{2}\pm\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3} \end{aligned} \text{同理，}u^3=-\frac{q}{2}\pm\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3} \text{我们可以知道，}u^3+v^3\text{必须等于}-q\text{，所以}u^3\text{和}v^3\text{中的正负号必须一正一负，所以} \begin{cases} u^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3} \\ v^3=-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3} \end{cases} \text{这里的}u,v\text{反过来不需要讨论，因为顺序不影响解的大小。} \text{所以：} u= \begin{cases} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3}} \\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3}} \cdot\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3}} \cdot\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \end{cases} v= \begin{cases} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3}} \\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3}} \cdot\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3}} \cdot\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \end{cases} \text{似乎有}9\text{种组合，但是它并没有}9\text{个解，只有满足}uv=-\frac{3}{p}\text{的组合才是方程的解，其他的是错解。} \text{别忘了}y=u+v\text{，所以：} y_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3}} y_2=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3}} \cdot\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3}} \cdot\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} y_3=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3}} \cdot\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3}} \cdot\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \text{最后别忘了}x=y-\frac{b}{3a}

完整版求根公式：

ax^3+bx^2+cx+d=0 \text{令 }p=-\frac{b^2-3ac}{3a^2},q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3} x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3}}-\frac{b}{3a} x_2=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3}} \cdot\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3}} \cdot\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}-\frac{b}{3a} x_3=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3}} \cdot\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{3}{p})^3}} \cdot\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}-\frac{b}{3a}

附录

关于为什么令x=y-\frac{b}{3a}

ax^3+bx^2+cx+d=0

方法一

我们的目的是消掉二次项，而经过换元，只有三次项会展开出二次项来。

容易发现不管怎么换元，二次项展开的二次项只有bx^2，我们只需要思考如何在三次项展开时，展开出一个-bx^2的项，即可把二次项消掉。

假设最后换元成x=y+A，那么三次项展开后：

\begin{aligned} ax^3 & =a(y+A)^3\\ &=a(y^3+A^3+3y^2A+3yA^2)\\ &=ay^3+aA^3+3y^2Aa+3yA^2a \end{aligned}

容易发现二次项是3y^2Aa,我们只需让它等于-by^2:

\begin{aligned} 3y^2Aa=&-by^2\\ 3Aa=&-b\\ A=-\frac{b}{3a} \end{aligned}

所以我们要令x=y-\frac{b}{3a}

方法二

不妨构造函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,如图（此图a=0.1,b=1,c=1.2,d=-1）：

注意到它像一个中心对称图形，我们尝试求出对称中心的坐标（这个方法不太严谨）。

容易发现对称中心处的切线斜率是整个函数最小的。

我们对函数求二阶导，导函数零点的横坐标即是对称中心的横坐标。

f'(x)=3ax^2+2bx+c \begin{aligned} f''(x)&=6ax+3b=0\\ 6ax+3b&=0\\ 6ax&=-3b\\ x&=-\frac{b}{3a} \end{aligned}

所以对称中心的坐标是(-\frac{b}{3a},f(-\frac{b}{3a}))，纵坐标不重要。

只要将整个函数的对称中心移至y轴上即可消去二次项，即：

\begin{aligned} g(x)&=f(x-\frac{b}{3a}) \\ g(x)&=a(y-\frac{b}{3a})^3+b(y-\frac{b}{3a})^2+c(y-\frac{b}{3a})+d \end{aligned}

具体化简过程见上文。