他们正在疯狂地拆除路标和扶手

Eznibuil · 2025-01-06 22:41:11 · 学习·文化课

假设有函数 f(x) 无限可导（而且长得比较正常），那么考虑以下定理：

若 f(x) 有零点 x_0，则在序列 f'(x),f''(x),f'''(x),\dots 中第一个不为 0 的是偶数阶导则 x_0 是不变号零点，奇数阶导则 x_0 是变号零点。

这个证明起来并不是很困难，只需要考虑泰勒展开截断一下（因为每一项都是下一项的高阶无穷小）就行了。

虽然不知道高中数学这样写扣不扣分但是大多数情况下不会遇见太高阶的导数所以还是比较可用的。

为什么要提长得比较正常呢？因为你需要考虑这种：

计算 f'(0),f''(0),f'''(0),\dots 可以发现全都是 0，无穷无尽了属于是。然而可以用别的角度轻松证明 f(0)=0 就是最小值和唯一的零点。