《高等数学》第二章第1节习题选做
Elegia
2021-06-13 21:54:32
3. 求下列曲线 $\displaystyle y=f( x)$ 在指定点 $\displaystyle M( x_{0} ,f( x_{0}))$ 处的切线方程：
(1) $\displaystyle y=2^{x} ,M( 0,1)$
解：$\displaystyle f'( x) =2^{x}\ln 2$，切线为 $\displaystyle y=x\ln 2+1$。
(2) $\displaystyle y=x^{2} +2,M( 3,11)$
解：$\displaystyle f'( x) =2x$，在 $\displaystyle x_{0} =3$ 处斜率为 $\displaystyle 6$，切线为 $\displaystyle y=6( x-3) +11=6x-7$。
5. 曲线 $\displaystyle y=x^{2} +2x+3$ 上哪一点的切线与直线 $\displaystyle y=4x-1$ 平行，并求出曲线在该点处的切线和法线方程。
解：$\displaystyle y'=2x+2$，平行即 $\displaystyle y'( x) =4$，此时 $\displaystyle x=1$，$\displaystyle y=6$，有切线方程 $\displaystyle y=4( x-1) +6=4x-2$，法线斜率为 $\displaystyle -\frac{1}{4}$，也就有法线方程 $\displaystyle y=-\frac{1}{4}( x-1) +6=-\frac{1}{4} x+\frac{25}{4}$。
6. 离地球中心 $\displaystyle r$ 处的重力加速度 $\displaystyle g$ 是 $\displaystyle r$ 的函数，表达式为
$$
g( r) =\begin{cases}
\frac{GMr}{R^{3}} & r< R\\
\frac{GM}{r^{2}} & r\geq R
\end{cases}
$$
(1) $\displaystyle g( r)$ 是否是 $\displaystyle r$ 的连续函数？
解：只需考察 $\displaystyle R$ 处，左右极限和取值均为 $\displaystyle \frac{GM}{R^{2}}$，因此是。
(3) $\displaystyle g( r)$ 是否是 $\displaystyle r$ 的可导函数？
解：在 $\displaystyle R$ 处的左侧导数为 $\displaystyle \frac{GM}{R^{3}}$，右侧导数为 $\displaystyle -2\frac{GM}{R^{3}}$，不相等。故在 $\displaystyle r$ 处不可导。
7. 求二次函数 $\displaystyle P( x)$，已知：点 $\displaystyle ( 1,3)$ 在曲线 $\displaystyle y=P( x)$ 上，且 $\displaystyle P'( 0) =3,P'( 2) =1$。
设 $\displaystyle P( x) =ax^{2} +bx+c$，$\displaystyle P'( 0) =b=3$，$\displaystyle P'( 2) =b+4a=3+4a=1\Rightarrow a=-\frac{1}{2}$，最后有 $\displaystyle P( 1) =a+b+c=3\Rightarrow \frac{1}{2}$，因此 $\displaystyle P( x) =-\frac{1}{2} x^{2} +3x+\frac{1}{2}$。
8. 求下列函数的导函数：
(1) $\displaystyle y=8x^{3} +x+7$
解：$\displaystyle y'=24x^{2} +1$
(3) $\displaystyle y=( x+1)( x-1)\tan x$
解：$\displaystyle y=\left( x^{2} -1\right)\tan x$，因此 $\displaystyle y'=2x\tan x+\left( x^{2} -1\right)\sec^{2} x$。
(4) $\displaystyle y=\frac{9x+x^{2}}{5x+6}$
解：$\displaystyle y'=\frac{( 2x+9)( 5x+6) -5x( 9+x)}{( 5x+6)^{2}} =\frac{5x^{2} +12x+54}{( 5x+6)^{2}}$
(7) $\displaystyle y=\frac{x^{2} +x+1}{e^{x}}$
解：$\displaystyle y=\left( x^{2} +x+1\right) e^{-x}$，因此 $\displaystyle y'=( 2x+1) e^{-x} -\left( x^{2} +x+1\right) e^{-x} =\frac{-x^{2} +x}{e^{-x}}$
(8) $\displaystyle y=x\cdotp 10^{x}$
解：$\displaystyle y=10^{x} +x\cdotp 10^{x}\ln 10$
(10) $\displaystyle y=e^{x}\sin x$
解：$\displaystyle y'=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x=e^{x}(\sin x+\cos x)$
9. 定义：若多项式 $\displaystyle P( x)$ 可表为 $\displaystyle P( x) =( x-x_{0})^{m} g( x) ,\quad g( x_{0}) \neq 0$ 则称 $\displaystyle x_{0}$ 是 $\displaystyle P( x)$ 的 $\displaystyle m$ 重根。证明：$\displaystyle x_{0}$ 是 $\displaystyle P'( x)$ 的 $\displaystyle m-1$ 重根（$\displaystyle m\geq 2$）
解：考虑 $\displaystyle P'( x) =( x-x_{0})^{m-1}( m+( x-x_{0}) g( x))$，后者带入 $\displaystyle x_{0}$ 值为 $\displaystyle m\neq 0$，因此命题得证。
10. 若 $\displaystyle f( x)$ 在 $\displaystyle ( -a,a)$ 中有定义且是偶函数，且 $\displaystyle f'( 0)$ 存在，试证明 $\displaystyle f'( 0) =0$。
解：设 $\displaystyle g( x) =f( x) /x$，由 $\displaystyle f'( 0)$ 存在可知 $\displaystyle g$ 在 $\displaystyle 0$ 处有极限，注意到 $\displaystyle g$ 是奇函数，那么有 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0} g( x) =\lim _{x\rightarrow 0} g( -x) =-\lim _{x\rightarrow 0} g( x)$，因此 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0} g( x) =0$。
11. 设 $\displaystyle f( x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处可导，证明：$\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f( x_{0} +\Delta x) -f( x_{0} -\Delta x)}{2\Delta x} =f'( x_{0})$
解：其等于 $\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{2}\left(\frac{f( x_{0} +\Delta x) -f( x_{0})}{\Delta x} +\frac{f( x_{0}) -f( x_{0} -\Delta x)}{\Delta x}\right) =\frac{1}{2}( f'( x_{0}) +f'( x_{0})) =f'( x_{0})$。
13. 求函数 $\displaystyle f( x) =\begin{cases}
\frac{x}{1+e^{1/x}} & x\neq 0\\
0 & x=0
\end{cases}$ 在 $\displaystyle 0$ 处的左右导数。
即求 $\displaystyle \frac{1}{1+e^{1/x}}$ 在 $\displaystyle 0$ 处的左右极限，右侧 $\displaystyle =\lim _{y\rightarrow +\infty }\frac{1}{1+e^{y}} =0$，左侧 $\displaystyle =\lim _{y\rightarrow -\infty }\frac{1}{1+e^{y}} =1$。
14. 设 $\displaystyle f( x) =|x-a|\varphi ( x)$，其中 $\displaystyle \varphi ( x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 处连续且 $\displaystyle \varphi ( a) \neq 0$，证明 $\displaystyle f( x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 处不可导。
解：右侧导数为 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow a^{+}}\frac{|x-a|}{x-a} \varphi ( x) =\lim _{x\rightarrow a^{+}} \varphi ( x) =\varphi ( a)$，左侧为 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow a^{-}}\frac{a-x}{x-a} \varphi ( x) =-\varphi ( a) \neq \varphi ( a)$，左右导数不同，因此不可导。