二次型与二次曲面
亿方通行
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合同矩阵
定义
给定两个 n 阶方阵 A 和 B，如果存在可逆矩阵 C，使得
B = C^\prime A C
则称 A 和 B 合同。
性质
- 自反性：任一 n 阶方阵 A 都与自身合同
- 对称性：若 A 与 B 合同，则 B 与 A 合同
- 传递性：若 A 与 B 合同，且 B 与 C 合同，则 A 与 C 合同
对任一实对称矩阵 A，存在正交矩阵 P，使 P^{-1}AP = P^\prime AP = D 为对角矩阵，因此，任一实对称矩阵都与对角矩阵合同。
对称矩阵与非对称矩阵不合同。
若 A, B 均为实对称矩阵，则
A \backsimeq B \Leftrightarrow A\,与\,B\,的正惯性指数，负惯性指数对应相等
二次型
定义
含有 n 个变量 x_1, x_2, \cdots, x_n，而系数取自数域 F 的 n 元二次齐次函数
f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^n a_{ij}x_ix_j
称为数域 F 上的 n 元二次型，简称二次型。
记
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}
,\
X = \begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}
则二次型可记为
f = X^\prime A X
称对称矩阵 A 为二次型 f 的对称矩阵，称 A 的秩为二次型 f 的秩。
化标准形
称只含平方项的二次型为标准二次型。
称形如
f = y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_p^2 - y_{p + 1}^2 - \cdots - y_{p + 1}^2
的实二次型为规范二次型。
正交变换
对任意 n 元实二次型
f = X^\prime AX
存在正交线性变换
X = PY
将二次型 f 化为标准形
f = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \cdots + \lambda_ny_n^2
其中 \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n 是 A 的 n 个特征值。
拉格朗日配方法
初等变换（狗都不用）
正定实二次型
惯性定律
设 n 元实二次型 f = X^\prime AX 经实可逆线性变换 X = C_1Y, X = C_2Z 分别化为标准形
f = k_1y_1^2 + k_2y_2^2 + \cdots + k_ny_n^2\\
f = l_1z_1^2 + l_2z_2^2 + \cdots + l_nz_n^2
则 k_1, k_2, \cdots, k_n 中正数的个数与 l_1, l_2, \cdots, l_n 中正数的个数相等，k_1, k_2, \cdots, k_n中负数的个数与 l_1, l_2, \cdots, l_n 中负数的个数也相等，分别称之为 f 的正惯性指数与负惯性指数。
正定二次型
定义
设有 n 元实二次型 f = X^\prime AX，如果对 \R^n 中任何列向量 X \ne 0，都有 X^\prime AX > 0，则称 f 为正定二次型。称正定二次型的矩阵为正定矩阵。
显然，正定矩阵一定是实对称矩阵，反之未必。
性质
设 A 是 n 阶方阵，顺序选取 A 的前 k(0 \le k \le n) 行、前 k 列构成的矩阵称为 A 的 k 阶顺序主子阵，其行列式称为 A 的 k 阶顺序主子式。
下面是 n 元实二次型 f = X^\prime AX 为正定二次型的充要条件：
-
-
- 存在实可逆矩阵 Q，使 A = Q^\prime Q。
-
空间中的曲面与直线
球面
已知球面的球心在点 M_0(x_0, y_0, z_0)，半径是 r，则该球面方程为
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2
柱面
平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线 C 叫做柱面的准线，动直线 L 叫做柱面的母线。
椭圆柱面
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
双曲柱面
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
抛物柱面
x^2 = 2py
旋转曲面
由一条平面曲线 C 绕该平面上的一条定直线 L 旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，曲线 C 称为母线，直线 L 称为旋转轴。
圆锥面
z^2 = k^2(x^2 + y^2)
单叶旋转双曲面
\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{z^2}{b^2} = 1
双叶旋转双曲面
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2 + z^2}{b^2} = 1
旋转椭球面
\frac{x^2 + y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} = 1
旋转抛物面
x^2 + y^2 = 2pz
空间曲线
空间曲线可以视为两个通过它的曲面的交线。若空间曲线 C 是两个曲面
S_1 : F(x, y, z) = 0\\
S_2 : G(x, y, z) = 0
的交线，则曲线 C 的方程为
\begin{cases}
F(x, y, z) = 0\\
G(x, y, z) = 0
\end{cases}
称其为空间曲线 C 的一般方程。
有时，空间曲线 C 的方程也可以用参数表示成
\begin{cases}
x = x(t)\\
y = y(t)\\
z = z(t)
\end{cases}
设 C 是一条空间曲线，\pi 是一个平面，以 C 为准线，作母线垂直于 \pi 的柱面，该柱面与平面 \pi 的交线叫做 C 在平面 \pi 上的投影曲线，简称投影。
设曲线 C 的方程是
\begin{cases}
F_1(x, y, z) = 0\\
F_2(x, y, z) = 0
\end{cases}
从这个方程组中消去 z 可以得到以 C 为准线，母线垂直于 xOy 面的柱面方程
F(x, y) = 0
故曲线
\begin{cases}
F(x, y) = 0\\
z = 0
\end{cases}
是曲线 C 在 xOy 面上的投影。
二次曲线
一般的三元二次方程都可写成
X^\prime AX + v^\prime X + a_{44} = 0
存在正交变换
X = PY
使二次型 X^\prime AX 化为标准二次型 \lambda_1x^{\prime 2} + \lambda_2y^{\prime 2} + \lambda_3z^{\prime 2}。这意味着存在三维几何空间中适当的直角坐标系，使原来的三元二次方程化成
\lambda_1x^{\prime 2} + \lambda_2y^{\prime 2} + \lambda_3z^{\prime 2} + a_{14}^\prime x^\prime + a_{24}^\prime y^\prime + a_{34}^\prime z^\prime + a_{44} = 0
再作平移变换，可化简为
\lambda_1\bar{x}^2 + \lambda_2\bar y^2 + \lambda_3\bar z^2 = d
椭球面
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1
单叶双曲面
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1
双叶双曲面
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1
椭圆抛物面
\frac{x^2}{2p} + \frac{y^2}{2q} = z\quad（p, q\ 同号）
双曲抛物面（马鞍面）
\frac{x^2}{2p} - \frac{y^2}{2q} = z\quad（p, q\ 同号）
二次锥面
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0