非均匀有理B样条学习笔记
1. 引入
如果你还没有看过回形针paperclip的如何设计一个逼真的三维模型，可以在观看后再看此博客。
当我看完这个视频的时候，我整个人都是蒙的，正如这条评论
在以下的讲解中，会从函数过渡到图像的步骤开始开始
2. 从函数到多项式
正如回形针所说，计算机不具有人类一样徒手画线的能力，为了画出一条曲线，计算机需要一个函数来画出一个曲线。
从小学到高中我们学了很多函数图像，将这些图像伸缩，平移，就可以基本满足曲线的要求。
而回形针的方式，是将普通f(x)的函数转变为参数函数。如以下这个函数y=0.5x
如果你看到回形针的P(t)=(x(t),y(t)),你可以把它理解为，在这个函数上的任意一个P点，满足一个x坐标和y坐标的关系。如果将上图中函数的P点的y坐标记作t，那么P的坐标就为P(2t,t)，那么就可以表示为：
讲完了参数函数，我们过渡到回形针这个片段。
[]()
现在，便不难理解这里的P(t)函数，P(1)，P(2)都包含了x,y,z轴的坐标，所以最后的P(t)也将是一个以P1为起点，P2为终点的直线。
3. 贝塞尔曲线
贝塞尔曲线，就是一种可自定义的参数函数。它可以在PS中用钢笔工具画出。
[]()
这就是贝塞尔曲线，如果我们找到ABC三个点，想绘制出以A为起点，C为终点，B为控制点的曲线，那么，我们可以在 AB 线段上任选一个点 D，根据 AD 和 AB 的比值，在 BC 线段上找到一个点 E，让 AD:AB=BE:BC 。再连接 DE ，在 DE 线段上找出点 F，让 DF:DE = AD:AB = BE:BC，如图所示：
[]()
让这个F点从A运动到C，就是我们需要的二次贝塞尔曲线。
[]()
而控制点越多，就可以画出三次，四次，多次的贝塞尔曲线。
[]()
而贝塞尔曲线是如何实现的？这些比例关系如何作用在直角坐标系上？这时候，我们就需要了解贝塞尔曲线的参数函数。
这就是贝塞尔曲线的参数函数，通过一个基函数B(t)控制了对应的每一个t，Pi对于整个图像P(t)的影响力。如果我们需要一个P(t)的坐标，就是B(t,i)与每个P点的坐标相乘的乘积的总和，如下图所示：
以回形针举的例子，三次贝塞尔曲线为例，我们可以看到B(t)对于编号1,2,3,4四个点的对应函数图像。
我们可以很明显的发现，当t=0时，P(0)在P0上，当t=1时，P(1)在P3上。而当t在0到1的范围中间的时候，P就构成了这个曲线。
当我们更改任何一个点，都可以会改变这个曲线。而且我们没法控制每个点的权重。于是，在贝塞尔曲线的基础上，出现了均匀有理B样条。
4. 均匀B样条
这是B样条曲线和贝塞尔曲线的参数函数。
可以看到除了定义域和基函数，其他的都是一样的。
这是B样条基函数的展开式。其中，大T中的t1,t2,t3……都是自己设定的数值，用于设定局部控制，k是需要的次数，n是节点个数。
以4个节点的三次B样条为例，我们需要设定t0到t7一共8个值，我们假定它们为均匀的0 1 2 3 4 5 6 7。发现当我们需要计算三次的Ni,3(t)就需要计算Ni,2(t)。
反复到最后，直至k=0，我们才能计算出Ni,0(t)，然后再计算出Ni,1(t)，最后算出Ni,3(t)。
这样，我们就从0次到3次，最终得到了这个基函数的图像。
注意，这里灰色的部分并于不能算出，仅仅用于简便计算。灰色的部分不会出现在对应k次的基函数中。
由于我们的例子从t0到t7，间隔都是均匀的，所以叫做均匀B样条。
5. 非均匀B样条
如果这个大T中的小t值的间距不同，就是非均匀B样条。
这样，可以控制每个控制点能够影响的范围。
6. 非均匀有理B样条
而有理，就是说可以控制每一个节点的权重，更好，更完全地控制曲线。
这就是非均匀有理B样条，英文缩写NURBS。
7. 建模实战
正像这期视频的开头，画一条曲线，画很多条曲线，让曲线连接，旋转，平移，就构成了一个曲线的三维模型。
这是我的观后作业，希望你喜欢。