数学趣题

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求以下关于 x 的方程的正整数解。

x^{13}=21982145917308330487013369

有人直接注意到了 x=89，请允许我揭秘他的注意过程。

首先由于 x^{13} 的末两位是 69，这意味着 x 末位数字不是 2，也不是 5，那么 x 就与 10 互素，即 \gcd(x,10)=1。根据欧拉定理

x^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod {m}(\gcd(x,m)=1)

其中 \varphi(m) 表示小于等于 m 的数中与 m 互素的数的个数。根据定义 \varphi(10)=4。可以得到

x^{4}\equiv 1\pmod {10}

这个表达式的含义是 x^4 除以 10 的余数是 1，也可以读作 x^4 与 1 在模 10 意义下同余。

那么 x^{12}\equiv 1\pmod {10}，所以 x^{13}\equiv x\pmod {10}。

我们知道一个数除以 10 的余数就是这个数的个位数，则 x 的末位和 x^{13} 相同，为 9。

这样就可以将 x 表示为 10k-1 的形式（k 为正整数，可记作 k\in\N^*）

考虑展开 x^{13}=(10k-1)^{13}，根据二项式定理，k 的 \ge 2 次项前的系数均能被 100 整除，k 前的系数为 13\times 10=130，则

x^{13}=100[...]+130k-1 $$x^{13}\equiv 30k-1 \pmod {100}$$ 我们知道一个数除以 $100$ 的余数就是这个数的末 $2$ 位。 则 $30k-1$ 的末两位是 $69$，即 $30k$ 的末两位是 $70$，即 $3k$ 的末两位是 $7$，容易知 $k$ 的末位数字是 $9$（也可以通过求解逆元方程得到，暂且按下不表），因此 $x=89,189,289\dots

回到原数，发现是一个 26 位数，化成科学记数法大约是 2.2\times10^{25}

因此 x^{13}<2.2\times10^{25}<10^{26}=100^{13}

x^{13}<100^{13}\Rightarrow x<100

Therefore, x=89. Q.E.D.

作者：Aleph