浅谈欧拉路径
Clare613
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算法·理论
前言：
本期比较好玩?
何为欧拉路径：
一笔画玩过没有，其实就跟一笔画很相似，就是不重复走路径，走出来的就是欧拉路径，如果起点和终点是同一个点，那么就称为欧拉回路。\
\
如图不是一个欧拉路径，我们可以发现有点 1，2，6，11 这四个点的度数^*为奇数。\
\
这张图就是一个符合的欧拉通路。可以看到只有编号为 1，10 的度数^*为奇数，这两个点就作为起点和终点。所以符合。\
\
像这张图，就是一个欧拉回路。可以发现，所有的点的度数都是偶数，我们给出字典序最小的路径如下：1\rightarrow2\rightarrow3\rightarrow1\rightarrow4\rightarrow5\rightarrow3\rightarrow8\rightarrow5\rightarrow1\rightarrow6\rightarrow2\rightarrow9\rightarrow6\rightarrow7\rightarrow4\rightarrow10\rightarrow7\rightarrow1，图如下：
## 怎么求：
我们可以将欧拉路径抽象成一条线，上面连着多个环，如图：\
\
提出求欧拉路径方法的人是 $\tt {Heirholzer|希尔霍尔策}$，代码如下：
```cpp
void dfs(int u){
for(int i=0;i<g[u].size();i++){
if(vis[u][i]==0){
vis[u][i]=1;
dfs(g[u][i]);
}
}
ans.push_back(u);
}
```
但是面对数据量较大的题，这个方法就不占优势了。我们可以运用弧优化（又名删边优化），就是记录走过的边，这样就不用花大量的时间来记录和判断走过的边了，代码如下：
```cpp
void dfs(int u){
for(int i=head[u];i<g[u].size();i=head[u]){
head[u]=i+1;
dfs(g[u][i]);
}
ans.push_back(u);
}
```
## 例题：
本期的例题分两种：欧拉路径题和欧拉路径性质题。[题单](https://www.luogu.com.cn/training/811622#problems)。
### P7771 【模板】欧拉路径：
模板题，没得说。
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int> g[1000006],ans;
int head[1000006];
void dfs(int u){
for(int i=head[u];i<g[u].size();i=head[u]){
head[u]=i+1;
dfs(g[u][i]);
}
ans.push_back(u);
}
int in[100005],out[100005];
int main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v;
cin>>u>>v;
g[u].push_back(v);
in[v]++;
out[u]++;
}
int c1=0,c2=0,id=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(out[i]-in[i]==1){
c1++;
id=i;
}
if(in[i]-out[i]==1){
c2++;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) sort(g[i].begin(),g[i].end());
if((c1==0&&c2==0)==0&&(c1==1&&c2==1)==0){
cout<<"No\n";
return 0;
}
dfs(id);
for(int i=ans.size()-1;i>=0;i--) cout<<ans[i]<<" ";
return 0;
}
```
### P1341 无序字母对：
字母型的欧拉路径，好像没有难点。
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int g[105][105];
vector<int> ans;
int du[105],head[105];
void dfs(int u){
for(int i=head[u];i<100;i=head[u]){
head[u]=i+1;
if(g[u][i]==1){
g[u][i]=g[i][u]=0;
dfs(i);
}
}
ans.push_back(u);
}
signed main(){
cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
cout.tie(0)->sync_with_stdio(0);
int n,minn=1e9;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
char x,y;
cin>>x>>y;
g[x-'A'][y-'A']=g[y-'A'][x-'A']=1;
du[x-'A']++;du[y-'A']++;
}
int id=0;
for(int i=0;i<100;i++){
if(du[i]%2==1){
id=i;
break;
}
}
if(id==0){
for(int i=0;i<100;i++){
if(du[i]!=0){
id=i;
break;
}
}
}
dfs(id);
if(ans.size()!=n+1){
cout<<"No Solution";
return 0;
}
else if(ans[ans.size()-2]=='f'-'A'){
cout<<"No Solution";
return 0;
}
for(int i=ans.size()-1;i>=0;i--){
cout<<char(ans[i]+'A');
}
return 0;
}
/*
abaaba
*/
```
### P1333 瑞瑞的木棍：
欧拉路径性质题，只需要用并查集判断是否连通和度数为奇数的点的个数即可。
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
map<string,int> mp;
map<string,string> fa;
string find(string x){
if(fa[x]==x) return x;
return fa[x]=find(fa[x]);
}
int cnt=0,ctn=0,fl=0;
int main(){
string x,y;
while(cin>>x>>y){
if(fa[x]==""){
fa[x]=x;
cnt++;
}
if(fa[y]==""){
fa[y]=y;
cnt++;
}
if(mp[x]%2==0) fl++;
else fl--;
mp[x]++;
if(mp[y]%2==0) fl++;
else fl--;
mp[y]++;
if(find(x)!=find(y)){
ctn++;
fa[find(x)]=find(y);
}
}
if((fl!=0&&fl!=2)||(cnt!=0&&ctn!=cnt-1)) cout<<"Impossible";
else cout<<"Possible";
return 0;
}
```
### P3520 [POI 2011] SMI-Garbage：
这道题目是无向图，需要使用链式前项星，然后对于需要反转的边，标记一下，然后分成连通块跑完。
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int head[2000006];
struct node{
int v,w,nxt;
}edge[2000005];
int du[2000005];
bool f[2000005];
bool ff[2000005];
vector<int> g[2000005];
int cnt=0;
void ae(int u,int v,int w){
edge[++cnt]={v,w,head[u]};
head[u]=cnt;
return ;
}
int ans=0;
stack<int> st;
int is[2000005];
void dfs(int u){
f[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=head[u]){
head[u]=edge[i].nxt;
if(ff[i]) continue;
ff[i]=ff[i^1]=1;
int v=edge[i].v;
dfs(v);
if(is[v]){
g[++ans].push_back(v);
while(st.top()!=v){
g[ans].push_back(st.top());
is[st.top()]=0;
st.pop();
}
g[ans].push_back(v);
}
else{
st.push(v);
is[v]=1;
}
}
}
signed main(){
cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
cout.tie(0)->sync_with_stdio(0);
cin>>n>>m;
cnt=1;
while(m--){
int u,v,x,y;
cin>>u>>v>>x>>y;
if(x^y){
ae(u,v,0);
ae(v,u,0);
du[u]++;
du[v]++;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(du[i]%2){
cout<<"NIE";
return 0;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!f[i]&&du[i]){
dfs(i);
g[++ans].push_back(i);
while(st.size()){
g[ans].push_back(st.top());
is[st.top()]=0;
st.pop();
}
}
}
cout<<ans<<"\n";
for(int i=1;i<=ans;i++){
int len=g[i].size();
cout<<len-1<<" ";
for(int j=0;j<len;j++){
cout<<g[i][j]<<" ";
}
cout<<"\n";
}
return 0;
}
```
### P10777 BZOJ3706 反色刷：
又是一道性质题。我们需要对于每次修改来处理并查集，然后对于不同的连通块，我们需要排查个数及是否可行即可。
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,fa[1000005];
int du[1000005];
int siz[1000005];
int u[1000005];
int v[1000005];
int w[1000005];
int cnt=0;
int find(int x){
if(fa[x]==x) return x;
return fa[x]=find(fa[x]);
}
void uni(int x,int y){
x=find(x);
y=find(y);
if(x!=y){
fa[x]=y;
}
return ;
}
void solve(int x,int y){
if(du[x]){
cnt++;
}
else{
cnt--;
}
du[x]^=1;
if(du[y]){
cnt++;
}
else{
cnt--;
}
du[y]^=1;
}
int main(){
cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
cout.tie(0)->sync_with_stdio(0);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
fa[i]=i;
}
for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>u[i]>>v[i]>>w[i];
if(w[i]){
solve(u[i],v[i]);
}
uni(u[i],v[i]);
}
int e=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
if(w[i]){
int ro=find(u[i]);
if(!siz[ro]){
e++;
}
siz[ro]++;
}
}
int q;
cin>>q;
while(q--){
int op;
cin>>op;
if(op==2){
if(cnt){
cout<<"-1\n";
}
else{
cout<<e<<"\n";
}
}
else{
int x;
cin>>x;
x++;
solve(u[x],v[x]);
int ro=find(u[x]);
if(w[x]){
w[x]=0;
siz[ro]--;
if(!siz[ro]){
e--;
}
}
else{
w[x]=1;
if(!siz[ro]){
e++;
}
siz[ro]++;
}
}
}
return 0;
}
```
## 后话：
小小欧拉路径，拿捏。