如何计算1+2+3*4

· · 个人记录

最近洛谷上的一位神仙 @Dream_Creator 问了一道很难的计算题：求 1+2+3\times4 的值。

本人经过整整两小时半的思考，终于把这道题做出来了。

以下是解答过程：

1+2+3\times4 =\sqrt5 (\frac1{\sqrt5}+\frac2{\sqrt5})+3\times2\times2 =\sqrt5 (\cos\theta+\sin\theta)+3\times2\times\sqrt2\times\sqrt2\ (\theta=\arg(1+2i)) \sqrt5 (\cos\theta+\sin\theta) =\sqrt{10}(\frac1{\sqrt2}\cos\theta+\frac1{\sqrt2}\sin\theta) =\sqrt{10}(\sin \frac\pi4\cos\theta+\cos \frac\pi4\sin\theta) =\sqrt{10}\sin(\theta+\frac\pi4) =\sqrt{10}\sin \arg((1+2i)(1+i)) =\sqrt{10}\sin \arg(-1+3i) =\sqrt{10}\frac3{\sqrt{10}} =3 3\times2\times\sqrt2\times\sqrt2 =3\times((\sqrt2+\sqrt2)^2-\sqrt2^2-\sqrt2^2) =3\times(\sqrt8^2-4((\frac{\sqrt2}2)^2+(\frac{\sqrt2}2)^2)) =3\times(\sqrt8^2-4(\cos^2\frac\pi4+\sin^2\frac\pi4)) =3\times\sqrt8^2-12\times(\cos^2\frac\pi4+\sin^2\frac\pi4) =(\sqrt3\times\sqrt8)^2-12 =\sqrt{24}^2-\sqrt{12}^2 =(\sqrt{24}+\sqrt{12})(\sqrt{24}-\sqrt{12}) =(\sqrt{12}\times(\sqrt2+1))(\sqrt{12}\times(\sqrt2-1)) =12(\sqrt2+1)(\sqrt2-1) =12(2-1) =12

原式 =3+12

=3-(-12) =\sqrt3^2-(2\sqrt3i)^2 =(\sqrt3+2\sqrt3i)(\sqrt3-2\sqrt3i) =(\sqrt{15}e^{i\arccos\frac1{\sqrt5}})(\sqrt{15}e^{-i\arccos\frac1{\sqrt5}}) =\sqrt{15}^2\times e^{i\arccos\frac1{\sqrt5}-i\arccos\frac1{\sqrt5}} =15\times e^0 =15

证毕。

后记：由于本人闲着没事干，就以这篇博客为灵感，举办了第一届根号喵抽象解题挑战赛活动面板。