拉格朗日乘数法与一个100元最值问题探究

bmatrix · 2025-06-12 22:16:28 · 学习·文化课

前言

主播备考羟基时遇到了这么一道题：

已知 99 个实数 a_1,a_2,\dots,a_{99}，\forall i,a_i\in[-2,2]，\sum\limits_{i=1}^{99}a_i=0，求 \sum\limits_{i=1}^{99} a_i^3 的最大值。

答案给的方法是，构造局部不等式：x\in[-2,2] 时，x^3\le 3x+2，当且仅当 x=2 或 x=-1 时取等。然后我们有：

当且仅当 a_1,a_2,\dots,a_{99} 中有 33 个为 2，66 个为 -1 时取等号。故最大值为 198。

然而这个取等条件看起来很凑巧，当元素个数变为 100 个时就无法取到了。那么有没有方法能得到 n=100 时的最大值呢？

偏导数

对于二元函数 f(x,y)，定义

为 f(x,y) 在 (x_0,y_0) 处对 x 的偏导数，在本文中，我们将其记作 f_x(x_0,y_0)。类似地，我们也可以定义 f_y(x_0,y_0)​。

例如，对于 f(x,y)=xy^2，有 f_x(x,y)=y^2,f_y(x,y)=2xy。

这容易推广到自变量更多的情况，不再赘述。

拉格朗日乘数法

对于多元函数 f:\R^n\rightarrow \R，我们要求在满足以下条件时的极值：

可以采用以下方法：

构造函数 L(x_1,x_2,\dots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m)=f(x_1,x_2,\dots,x_n)+\lambda_1\varphi_1(x_1,x_2,\dots,x_n)+\lambda_2\varphi_2(x_1,x_2,\dots,x_n)+\dots+\lambda_m\varphi_m(x_1,x_2,\dots,x_n)， 令 L 的每一维（共 n+m 维）偏导数均为 0，解出的 (x_1,x_2,\dots,x_n) 就可能是 f 的一个极值点。

如果上面的描述过于抽象，可以考虑 n=2,m=1 的例子：

要求 f(x,y) 在 \varphi(x,y)=0 条件下的极值，构造 L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)，解方程组：

解出的 (x_0,y_0) 就可能是 f 的一个极值点。

求最值

显然极值点不一定是最值点，最值还可能在某些自变量取到边界值时取到，因此，要注意验证边界情况。

例题

已知 n=100 个实数 a_1,a_2,\dots,a_{n}，\forall i,a_i\in[-2,2]，\sum\limits_{i=1}^{n}a_i=0，求 \sum\limits_{i=1}^{n} a_i^3 的最大值。

设 f(a_1,a_2,\dots,a_n)=\sum\limits_{i=1}^na_i^3，\varphi(a_1,a_2,\dots,a_n)=\sum\limits_{i=1}^n a_i，则 L(a_1,a_2,\dots,a_n,\lambda)=\sum\limits_{i=1}^na_i^3+\lambda\sum\limits_{i=1}^na_i。

易知 L_{a_i}(a_1,a_2,\dots,a_n,\lambda)=3a_i^2+\lambda=0，我们要解以下方程组：

则 a_i=\sqrt{-\dfrac3\lambda} 或 a_i=-\sqrt{-\dfrac3\lambda}。记 t=\sqrt{-\dfrac3\lambda}，t\in[0,2]。

又因为 \sum\limits_{i=1}^na_i=0，那么必然是 \dfrac n2 个 t，\dfrac n2 个 -t。

在这种情况下，f(a_1,a_2,\dots,a_n)=0，显然这不是最大值，因此我们要考虑一些自变量取到边界时的情况。

显然取 -2 一定不优，因此设有 k\,(k\in\N^*) 个自变量取到 2，在剩余的 n-k 个自变量中，有 m\,(m\in\N) 个 t 和 n-m-k 个 -t。

则

换元令 s=n-k-2m，考虑一下 k 和 s 的范围：

首先 m=-\dfrac12(s+k)+\dfrac n2\in[0,n-k]，解得 k-n\le s\le n-k。

又由于 (1) 式为 0，所以 t=\dfrac{2k}s\in[0,2)，解得 k<s​。

所以 k<s\le n-k。

我们要求的 (2) 式可化为 8k-st^3=8k-2kt^2=(8-2t^2)k，我们要求这个式子的最大值：

固定 k，由于 k>0，我们要求 t 尽可能小。

根据 k<s\le n-k ，容易知道 t=\dfrac{2k}s\ge\dfrac{2k}{n-k}，因此我们只需求 g(k)=\left[8-2\left(\dfrac{2k}{n-k}\right)^2\right]k 的最大值。

用 Geogebra 画出 g(k) 和 g'(k) 的图像，当 n=100 时，g'(k) 的零点是 \dfrac{100}{33}，在区间 (33,34) 内。