半期总结

i_love_xqh · 2025-04-25 14:41:29 · 个人记录

知识性总结

• 群论。群论主要讲的就是 Burnside 引理和 Polya 定理，都是计数技巧。主要解决一类本质不同问题，核心思想是找到题目中的置换群，对于每种置换统计不动点数量。在统计不动点数量时常常会与各种组合计数技巧搭配。

• 字符串。这学期主要讲了后缀数组、自动机和回文自动机。回文自动机主要处理和回文相关问题，也有些题目在回文树上进行 dp。后缀数组相较于后缀自动机而言就是在处理后缀排序上比较简便。

  后缀自动机作用确实挺大，用极少的状态却储存了整个字符串的信息。通过反串建后缀自动机可以建出后缀树，很多题目都需要在后缀树上求答案，用其两个后缀的 lcp 即为其 lca 的 len 的性质。所以经常结合一些数据结构如 lct 等树上常见问题。

• 线性代数。线性代数部分主要讲的线性基与矩阵树。线性基主要处理集合异或相关问题，并且可以延伸到树上。因其 O(\log^2 n) 合并常常结合 st 表处理一些区间问题。

  矩阵树主要考察图论建模，当然也能进行很多扩展操作。本质是求所有生成树边权乘积的和，当然也可以拓展为许多重定义生成树权值的问题，主要是靠重定义乘法。

• 多项式。首先是拉格朗日插值。拉格朗日插值核心思想是 crt，通常在题目中作为辅助出现。如果通过打表或者其它方式发现题目的答案是一个多项式，则可以先求出小规模的答案再拉插出需要的值。

  多项式部分就是 fft、ntt 和 fwt。一般是优化一些计数，当然也需要推式子和组合计数的能力，特别是一些需要容斥的题目。本质上是找到一种线性变换。

• 数据结构。数据结构部分讲了点分治、splay、虚树和 lct。点分治主要解决关于树上路径相关问题，核心思想就是找重心为分治重心，统计经过该点路径的答案，然后再再对子树分治处理；如果是动态的，一般要考虑建出点分树，再用数据结构进行维护。

  splay 基本上能维护线段树的常见信息，主要是通过 splay 操作维持树的平衡，而 splay 又包含左旋和右旋操作，通过这些操作将树的高度变低，以支持查询；lct 则是类似树链剖分，通过实边和虚边将多棵 splay 连接在一起，以维护动态图。核心是 access 操作，将该点到根的上面挂的 splay 合并到一起，从而支持删加边操作。要特别注意区分原树和辅助树（splay）。

  虚树的话，就是只提取出树中的关键点以达到减少规模的效果，常见于多组询问给出关键点或树的规模很大但关键点少的题目中。多组询问直接建树即可；关键点少一般树会有特殊形态，利用其性质建树。

  • 建树。本质上是用单调栈维护一条右链。首先按 dfn 进行排序，并将 1 号点入栈。然后对于点 a_i，先求出它与栈顶 s 的 lca l，如果 l 等于 s，则直接入栈就行了（说明 a_i 与 s 在一条链中）；否则则弹到第一个 dfn 大于 l 的元素 t 和下一个元素 p，如果 p\ne l，那么 l 应该代替 p 的位置。然后将 a_i 替代 t 成为新的右链。弹栈则表示已经确定，所以直接连边即可。

• 杂项。包括 wqs 二分、SW 和最小斯坦纳树。wqs 二分主要解决限制个数且代价函数具有凸性的题目，通过减去二分的额外代价转换成简单的无个数限制的问题，根据切点与题目限制作比较进行求解。一般是打表验证，可以考虑从四边形不等式模型或费用流模型等方向证明。

  SW 和最小斯坦纳树考察较少，SW 思想是递归，另一个是状压。

考试总结

总述

T1 花了大概 40 分钟，主要是在数列长度上卡了一会儿。然后在 T2 上花了很多时间，主要是思路想偏了。T3 虽然记忆中做过，但是没有去细想，打了 T3 和 T4 的暴力后又回去看 T2 了。

优点的话就是暴力分都打了。

问题及解决方案

• T2 思路想偏并耗时过久。当时觉得 u 只可能是某个阶乘，就考虑怎么枚举过后快速求。并且在求两个阶乘间的距离时没有仔细思考导致浪费了许多时间。当时想过直接建虚树，但是没有往这个方向深入思考。

  • 首先在得出一个结论后不要立马去实现，先考虑到底正不正确，是否存在反例，并且要思考存不存在更简便的写法，避免浪费时间。
  • 其次在写代码前要先将细节思考全面后再按框架写，不要来回调补，效率低下。
  • 最后不要在一个题上面浪费大量时间，一定要先看看后面的题是否有更容易想的。并且心态很重要，在决定跳题时就不要被前面的题所影响，否则到头来什么都做不好。

• T3 思考不周。即使 T3 不是原题也应该很快得出结论，更何况是原题应该有一点模糊的想法，当时可能心思主要还是放在 T2 上导致没有仔细思考。在开题的时候也应该先想一会别急着写。

  开题的时候一定要先通读完并有一定的思考后才开始做题，不然容易因突发状况导致后面的题缺失足够的思考。

总结及展望

总结

通过又是半学期的学习，套路也是不断地在积累。平时时不时地一定要去复盘总结，不然是很容易遗忘的。

平时学的知识基本上都认真去进行消化了，但是有些没有复习还是有些遗忘。除了作业表的题外，也可以找一点其他题做，熟悉一下算法思想和相关技巧。

在编写代码的时候一定要好好想清想透再写，一定要梳理好框架，已经有几次吃了这种亏了。

赛后的题一定要及时补，将题目的营养汲取干净。

CF 还是太忙了没打几场，虽然上了点分但还是没有达到预期。其实即使没有打也可以下来后看一看想一想，主要去提升一下思维和积累一些技巧，提升还是很大的。

在平时的练习中，能明显感觉得到之前一些薄弱的环节在逐步提高，但是还是要不断练习、积累技巧（计数、数据结构）。

展望

马上又是中考，下次回机房又要等到下次了。所以还是对未来做点展望。

• 在下一个周期中，CSP-S 360+，NOIP 320+。
• CF 2200+。