数学分析 - 凸性与不等式
凸性
函数的极值点
对于点
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若
f''(x_0)>0 ，则f(x_0) 为极小点 -
若
f''(x_0)<0 ，则f(x_0) 为极大点Pf：对于
x\in U_0(x_0,\delta) ，有f(x)=f(x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2) ，于是可知存在\delta 使得余项小于\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2 . -
若
f''(x_0)=0 ，则可看三阶导数。但可以同样推导，只有f^{(3)}(x_0)=0 时x_0 才有可能为极值点。
凸性
以下凸为例，函数的下凸有如下几种等价表述。
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（定义）
\forall x_1,x_2\in(a,b) ，\forall t\in(0,1) ，f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2) . -
> “=>”：后者取 $t=\frac{1}{2}$ 即可，前者考虑右侧斜率单调下降且有下界即可证明右导数存在，左导数同理，故连续。 > > "<="：见期中考试题，考虑做区间套即可。 -
对任意
x_1<x_2<x_3 ，有k(2,1)\le k(3,1)\le k(3,2) 。两侧互推都是显然的。注意右推左只需要
k(2,1)\le k(3,2) 即可。 -
对任意
x_1,\dots,x_n ，t_1,\dots,t_n\in[0,1] ，\sum t_i=1 有f(\sum t_ix_i)\le \sum t_if(x_i) .对定义的稍许拓展罢了。
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在
f(x) 一阶可导的情况下，f'(x) 单调增。考虑与有关
x_1,x_2,x_3 的做互推。"=>"：
\frac{f(x)-f(x-h)}{h}\le \frac{f(x+h)-f(x)}{h} 两侧取极限."<="：
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(\xi_1)\le f'(\xi_2)=\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2} .
不等式
前文提到了
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（Hölder 不等式）
a_i,b_i,p,q>0 ，则\sum_i a_ib_i\le (\sum a_i^p)^{\frac{1}{p}}(\sum b_i^q)^{\frac{1}{q}} ，其中\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 .即证
\frac{\sum a_ib_i}{\sum a_i^p}\le (\frac{\sum b_i^q}{\sum a_i^p})^{\frac{1}{q}} .于是取
f(x)=x^{\frac{1}{q}} ，x_i=\frac{b_i^q}{a_i^p} ，t_i=\frac{a_i^p}{\sum a_i^p} 即可。 -
（广义均值不等式）
a_i>0 不全相等，令f(x)= (\frac{a_1^x+\dots+a_n^x}{n})^{\frac{1}{x}} （在0 处显然可补充定义），证明f(x) 为严格单调递增函数.$$ f'(x)=\frac{f(x)}{x^2} (x\frac{\sum_i a_i^x\ln a_i}{\sum a_i^x}-\ln \frac{\sum a_i^x}{n}) $$ 于是即要证明后者 $>0$. 改变一下形式，即证 $$ \sum_i \frac{1}{n}a_i^x\ln a_i^x>\frac{\sum a_i^x}{n}\ln \frac{\sum a_i^x}{n} $$ 于是取 $x_i=a_i^x$，$t_i=\frac{1}{n}$，$f(x)=x\ln x$ 即可证明。 -
（Minkowski 不等式）
x_i,y_i\ge 0 ，p\ge 1 ，证明(\sum (x_i+y_i)^p)^{\frac{1}{p}}\le (\sum x_i^p)^{\frac{1}{p}}+(\sum y_i^p)^{\frac{1}{p}} 两侧都除以 LHS 再做些小变换，即证
1-(\frac{\sum x_i^p}{\sum(x_i+y_i)^p})^{\frac{1}{p}}\le (\frac{\sum y_i^p}{\sum(x_i+y_i)^p})^{\frac{1}{p}} 两侧都取
p 次幂，即证(1-(\frac{\sum x_i^p}{\sum(x_i+y_i)^p})^{\frac{1}{p}})^p\le \frac{\sum y_i^p}{\sum(x_i+y_i)^p} 取
f(x)=(1-x^{\frac{1}{p}})^p ，x_i=\frac{x_i^p}{(x_i+y_i)^p} ，t_i=\frac{(x_i+y_i)^p}{\sum (x_i+y_i)^p} 即可.