数学小报4 - 三次方程的求根公式 The root formula for a cubic equation
Mr_Az
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数学小报4 - 三次方程的求根公式 The root formula for a cubic equation
1. 思考
我们学习过一元二次方程的求根公式 x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}，思考是否存在一元三次方程的求根公式，便展开讨论。
补充 \omega^2+\omega+1=0 且 \omega^3=1，将 \omega 称为 1 的三次单位根。
2. 证明 卡尔丹公式证明
设一元三次方程 ay^3+by^2+cy+d=0~~(1)
令 y=x-\frac{b}{3a}，代入得：x^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}x+\frac{ab^3-9bc+27a^2d}{27a^3}=0~~(2)
令 p=\frac{b^2-3ac}{3a^2}，q=\frac{2b^3-9bc+27a^2d}{27a^3}，则 x^3-px+q=0~~(3)
令 x=u+v，代入至 (3) 式得：u^3+v^3+(3uv-p)(u+v)+q=0~~(4)
令 3uv-p=0 即 uv=\frac{p}{3}，代入 (4) 式得：u^3+v^3=-q~~(5)
\therefore u^3\times v^3=\frac{p^3}{27}~~(6)
\begin{aligned}
&联立 (5) 和 (6)式得: \left\{
\begin{matrix}
u^3+v^3=-q\\
u^3\times v^3=-\frac{q^3}{27}\\
\end{matrix}
\right.
~~即
\left\{
\begin{matrix}
u^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}\\
v^3=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}\\
\end{matrix}
\right.\\
&\therefore u=\left\{
\begin{matrix}
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}\\
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega\\
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2\\
\end{matrix}
\right.
~~~~
v=\left\{
\begin{matrix}
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}} \\
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega\\
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2\\
\end{matrix}
\right.\\
&\because uv=\frac{p}{3}\\
&\therefore x=\left\{
\begin{matrix}
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}+
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}\\
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega+
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2\\
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2+
\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega\\
\end{matrix}
\right.
\end{aligned}
3. 总结
一元二次方程有自己的判别式，其实在一元三次方程中也有自己的判别式：\Delta=\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}
| 条件 |
情况 |
| \Delta>0 |
方程有一个实根和一对共轭虚根 |
| \Delta=0 且 pq \neq 0 |
方程有一个两重实根和一个单重实根 |
| \Delta<0 |
方程有三个互异实根 |
| p=q=0 |
方程有一个三重实根 |
4. 另一种证法（出自数学女孩）
设一元三次方程 ay^3+by^2+cy+d=0~~(1)
令 y=x-\frac{b}{3a}，代入得：x^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}x+\frac{ab^3-9bc+27a^2d}{27a^3}=0~~(2)
令 p=-\frac{b^2-3ac}{3a^2}，q=\frac{2b^3-9bc+27a^2d}{27a^3}，则 x^3+px+q=0~~(3)
令方程的三个解分别为 \alpha,\beta,\gamma
则有 (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0，即：
\displaystyle\begin{aligned}
&x^3+(\alpha+\beta+\gamma)x^2-(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)x-\alpha\beta\gamma=0\\\\
&\therefore\left\{\begin{matrix}\begin{aligned}
\alpha+\beta+\gamma&=0\\
\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma&=p\\
-\alpha\beta\gamma&=q\\
\end{aligned}\end{matrix}\right.
~~~~~~~~~~~~令\left\{\begin{matrix}
L=\omega\alpha+\omega^2\beta+\gamma\\
R=\omega^2\alpha+\omega\beta+\gamma
\end{matrix}\right.\\\\
&则\left\{\begin{matrix}\begin{aligned}
L+R+\alpha+\beta=L+R-\gamma=2\gamma,\gamma&=\frac{L+R}{3}\\
\omega^2L+\omega R+\beta+\gamma=\omega^2L+\omega R-\alpha=2\alpha,\alpha&=\frac{\omega^2L+\omega R}{3}\\
\omega L+\omega^2R+\beta+\gamma=\omega L+\omega^2R-\beta=2\beta,\beta&=\frac{\omega L+\omega^2R}{3}\\
\end{aligned}\end{matrix}\right.\\
&\therefore\left\{\begin{matrix}\begin{aligned}
\alpha&=\frac{\omega^2L+\omega R}{3}\\
\beta&=\frac{\omega L+\omega^2R}{3}\\
\gamma&=\frac{L+R}{3}\\
\end{aligned}\end{matrix}\right.\\\\
&\begin{aligned}
\because L^3+R^3&=(L+R)(L+\omega R)(L+\omega^2)=\\
&(\omega\alpha+\omega^2\beta+\gamma+\omega^2\alpha+\omega\beta+\gamma)·\\
&(\omega\alpha+\omega^2\beta+\gamma+\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)·\\
&(\omega\alpha+\omega^2\beta+\gamma+\omega\alpha+\beta+\omega^2\gamma)\\
&=(-3\gamma)(-3\omega^2\beta)(-3\omega\alpha)\\
&=-27\omega^3\alpha\beta\gamma\\
&=-27q\\
L^3R^3&=(LR)^3\\
&=(\alpha+\omega\alpha\beta+\omega^2\alpha\gamma+\omega^2\alpha\beta+\beta^2+\omega^2\beta\gamma\\&+\omega\beta\gamma+\omega\alpha\gamma+\omega^2\beta\gamma+\gamma^2)^3\\
&=[(\alpha+\beta+\gamma)^2-3\alpha\beta-3\beta\gamma-3\alpha\gamma]\\
&=-3(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)\\
&=-27p^3\\
\end{aligned}\\\\
&\therefore \left\{\begin{matrix}\begin{aligned}
L^3+R^3 &=-27q\\
L^3R^3 &=-27p^3\\
\end{aligned}\end{matrix}\right.
~~~~~~~~~~~~~~解得\left\{\begin{matrix}\begin{aligned}
L^3&=\sqrt[3]{\frac{-27q+\sqrt{(27q)^2+108p^3}}{2}}\\
R^3&=\sqrt[3]{\frac{-27q-\sqrt{(27q)^2+108p^3}}{2}}\\
\end{aligned}\end{matrix}\right.\\\\
&令:\left\{\begin{matrix}\begin{aligned}
A&=-\frac{27q}{2}\\
B&=\frac{\sqrt{(27q)^2+108p^3}}{2}\\
\end{aligned}\end{matrix}\right.
~~则\left\{\begin{matrix}\begin{aligned}
L&=\sqrt[3]{A+\sqrt{B}}\\
R&=\sqrt[3]{A-\sqrt{B}}\\
\end{aligned}\end{matrix}\right.\\\\
&\because\left\{\begin{matrix}\begin{aligned}
\alpha&=\frac{\omega^2L+\omega R}{3}\\
\beta&=\frac{\omega L+\omega^2R}{3}\\
\gamma&=\frac{L+R}{3}\\
\end{aligned}\end{matrix}\right.
~~~~~~~~~~~~~~~~~\therefore\left\{\begin{matrix}\begin{aligned}
\alpha&=\frac{1}{3}(\omega^2\sqrt[3]{A+\sqrt{B}}+\omega\sqrt[3]{A-\sqrt{B}})\\
\beta&=\frac{1}{3}(\omega\sqrt[3]{A+\sqrt{B}}+\omega^2\sqrt[3]{A-\sqrt{B}})\\
\gamma&=\frac{1}{3}(\sqrt[3]{A+\sqrt{B}}+\sqrt[3]{A-\sqrt{B}})\\
\end{aligned}\end{matrix}\right.\\\\
&\because\left\{\begin{matrix}\begin{aligned}
p&=-\frac{b^2-3ac}{3a^2}\\
q&=\frac{2b^3-9bc+27a^2d}{27a^3}
\end{aligned}\end{matrix}\right.\\\\
&\therefore\left\{\begin{matrix}\begin{aligned}
A&=-\frac{2b^3-9bc+27a^2d}{2a^3}\\
B&=\frac{27(27a^2d^2-18abcd+4b^3d+4ac^2-b^2c^2)}{4a^4}\\
\end{aligned}\end{matrix}\right.\\\\
&\therefore\left\{\begin{matrix}\begin{aligned}
\alpha&=\frac{1}{3}(\omega^2\sqrt[3]{A+\sqrt{B}}+\omega\sqrt[3]{A-\sqrt{B}})-\frac{b}{3a}\\
\beta&=\frac{1}{3}(\omega\sqrt[3]{A+\sqrt{B}}+\omega^2\sqrt[3]{A-\sqrt{B}})-\frac{b}{3a}\\
\gamma&=\frac{1}{3}(\sqrt[3]{A+\sqrt{B}}+\sqrt[3]{A-\sqrt{B}})-\frac{b}{3a}\\
\end{aligned}\end{matrix}\right.\\
\end{aligned}