数列之不动点入门
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数列之不动点入门
本文章在 \text{matyer} , \text{Tnuzy\_plzro} 上同步发布。
都是一堆很劭毕的高考内容。
函数的不动点
对函数 f(x) ，所有 x_0 满足 f(x_0)=x_0 的 x_0 值成为函数 f 的不动点。（废话）
对于数列递推公式 a_{n+1}=\frac{a_n+2}{a_n+1} （这是一个有明显不动点（极限）的数列）：
令 f(x)=\frac{x+2}{x+1}，f(x)=x，解得 x=\sqrt2,-\sqrt{2}
根据实际情况，得到数列极限 lim_{n\to \infin}a_n=\sqrt2。
看上去很对，不过需要简单证明一下上面的东西
不动点と数列极限
很有趣的证明。
先默认 f(x) 是一个连续函数：
lim_{n\to \infin}a_{n+1}=A\\\\
lim_{n\to \infin}f(a_n)=f(lim_{n\to \infin}a_n)=f(A)\\\\
f(a_n)=a_{n+1}\\\\
A=f(A)
证明是循序渐进的。
不过前提是数列存在极限，不然前两个式子根本就没有意义。
不动点と函数相似
最有趣的部分。
假设 a_{n+1}=f(a_n)
不妨让 f(f(f(...x)))=f^n(x)，一共有 n 个括号。
不难得到 a_n=f^n(a_0)
欲求出 f^n(x) 的封闭形式而不成，考虑换元。
b_n=\varphi(a_n)\\\\
a_n=\varphi^{-1}(b_n)\\\\
a_{n+1}=f(a_n)=f(\varphi^{-1}(b_n))=[1]\varphi^{-1}(b_{n+1})\\\\
故\ b_{n+1}=\varphi(f(\varphi^{-1}(b_n)))
对上面式子进行迭代，得到很好的形式：
b_n=\varphi(f^n(\varphi^{-1}(b_0)))\\\\
不妨设之为\ g^n=\varphi \dotproduct f^n \dotproduct \varphi^{-1}
b_n=g^nb_0\\
a_n=f^na_0
假设 g^n 易求，则问题解决。
如果 g^n 易求，则 g 在目前阶段上（高考数学）必然是 kx,x+k 这样的数列。
下面引入函数相似：
对于函数 f,g ，g=\varphi \dotproduct f \dotproduct \varphi^{-1}，称 g,f 相似，其中 \varphi 是桥函数。
然而这和不动点有啥关系呢。
断言：f,g 的不动点必然通过 \varphi 一一对应。
证明：
g(x)=x\\\\
g(x)=\varphi(f(\varphi^{-1}(x)))=x\\\\
故\ f(\varphi^{-1}(x))=\varphi^{-1}(x)\\\\
不妨设\ A,B \ 为 f,g的不动点\\
对x\in A,\varphi(x)\in B ，二者一一对应。
应用
上面已经说过了要有等比等差数列，就让他有等比等差数列。
看一个简单题，尸大附中啸本P8【教材选粹】2.
解法一：\text{The GREAT Zhouyan's Method}
按照题目所说的要求求出前五亿项，用时逸一时误一世逸久逸久罢以零天并通过前五项蒙出通项公式，读者可以自行猜测
??????????????????????????????????????????????????????????????????
解法二：Standard
注意到原函数只有一个不动点 1，于是只能和等差数列相似。
(等差数列的不动点为 \infin ，等比数列则是 0,\infin)
构造 \phi(a_n)=b_n
考虑到不动点需要从 1\to \infin,给出 \phi(x)=\frac{1}{x-1}
考虑到 g(b_n)=\phi(f(\phi^{-1}(b_n)))=\phi(f(a_n))
以及 b_n=\phi(a_n)
g(b_n)=\frac{a_{n}}{a_{n}-1}=\phi(a_{n})+1=b_{n}+1=[1]b_{n+1}
这一步很奇妙，需要读者仔细思考。
故 b_n=b_1+(n-1)=\phi(a_1)+n-1=n
数学之美？数学之痗！
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## 解决问题
> 例1 求 $a_1=1,a_{n+1}=\frac{a_n+2}{a_n+1}$ 的通项公式。
对答案：$q=\frac{1+\sqrt2}{1-\sqrt2},a_n=\sqrt2 \frac{q^n+1}{q^n-1}
完结撒雪