力学

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其实是根据 bilibili 找来的啦。

有些我自己有点做出来，也有些完全做不出来，将就着写吧，绝望了。

一

嗯嗯，它有受力分析的。

最开始我用一堆力平衡来算，但是把 \mu 算成负数了……然后看了一眼答案发现几个大字“力矩平衡”我就瞬间悟了。这件事情告诉我们对于复杂的受力题目我们应该要先使用力矩平衡得出力与力之间的关系，再使用力平衡，就算的非常脆爽。

根据对称性和整体法，易得 2f_1=3mg，也就是 f_1=\frac{3}{2}mg。我们发现这个右下角小圆柱标满了受力分析，我们先从它入手。以 O_1 为支点列力矩平衡方程 \vec{R}\times\vec{f_1}=\vec{R}\times\vec{f_2} 得 f_1=f_2。我们设 E 为 f_1，f_2 处切线交点，以 E 点为支点，再列力矩平衡方程 N_2\cdot| EA|+mg\cdot|O_1B|=N_1\cdot|EB|，所以当这个东西平衡的时候 N_1>N_2，有 \frac{f_1}{N_1}<\frac{f_2}{N_2}，有 2 处先到达临界。设支持力与竖直方向夹角为 \theta，对顶上那个球受力分析有 2N_2\cos\theta=mg+2f_2\sin\theta=mg+2\mu N_2\sin\theta，有 \mu=\frac{2N_2\cos\theta-mg}{2N_2\sin\theta}。根据前式可得 f_2=f_1=\frac{3}{2}mg，有 \mu N_2=\frac{3}{2}mg，有 \mu=\frac{3\cos\theta}{1+3\sin\theta}，一定范围内随 \theta 增大而减小。根据几何关系，\sin\theta=\frac{R}{R+r}\ge\frac{\sqrt{2}}{2}，代入原式得 \mu_{\min}=\frac{9-3\sqrt{2}}{7}。

二

吸取上一道题的经验，这道题我用力矩平衡算了半天，发现没什么结果，然后使用了一些小分析居然做出来了……看来力矩平衡不是必需品。

（1）对于第一小题，我们先来个小小几何分析。我们设 B 在 y 轴上的投影是 C，重力竖直向下，所以重力在平面 ABC 上。我们考虑 B 点的摩擦力，因为 A 点摩擦力足够大，所以当 B 点光滑的时候运动轨迹是以 O 为圆心，|OB| 为半径的圆弧上。此时根据相对运动趋势，我们知道摩擦力的方向是向 y 轴正半轴，与 y 轴成向上的 30\degree。将摩擦力分解为一个在平面上一个不在平面，此时只需要考虑不在平面上的摩擦力分力与墙面支持力的合力在平面 ABC 上即可。N 与 f_y 的夹角为 90\degree，设平面 ABC 与 z 轴 x 轴构成面所成的二面角为 \phi，则 \frac{f_y}{N}=\tan\phi=\frac{f\cos\theta}{N}\le\mu\cos\theta。由几何关系 \tan\phi=\frac{l\sin\alpha\sin\theta}{l\cos\alpha}=\sin\theta\tan\alpha，所以有 \mu\cos\theta\ge\sin\theta\tan\alpha，有 \tan\theta\le\mu\cot\alpha，有 \theta\le\arctan(\mu\cot\alpha)。

（2）对于第二问。