题解：十七边形

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题目：十七边形

传统题 1000ms 256MiB

题目描述

牛牛想在一个半径为 r 的圆中，找到一个内接的十七边形，使他的面积最大。

输入半径 r ，输出最大的面积。

输入数据

输入一行一个整数，表示半径 r 。（ r≤10000 ）

输出数据

输出一行一个实数，表示最大的内接十七边形的面积。结果四舍五入保留 6 位小数。

数据范围

对于 50% 的数据， r 是 10 的幂；

对于 100% 的数据， 1≤r≤10000 。

样例

输入样例

10000

输出样例

307055416.259080

解题思路

首先一个结论：这个面积最大的内接的十七边形一定是正十七边形

证明：我也不会证

  1. 可以感性地理解一下，这样分布比较均匀，面积利用率更大。
  2. 还可以类比长方形面积：所有相同周长的长方形中，那个正方形一定是面积最大的（这个可以先用字母写出面积，再比大小）。

既然这样，我们可以把这个正十七边形拆成十七个全等的正三角形（这个一定能拆，证明略），然后能算出每个三角形的顶角角度为 360°/17*2 = (180/17)°，再用三角函数算出其中一个三角形的底和高，就能得到其面积，把面积乘 17 就是答案。

求底和高，可以先做一条高，然后用三角函数+等腰三角形三线合一（底边高为底边中线）列式求解。

下面画了一个求内接正六边形面积的例子，和正十七边形同理：

补充

在计算三角函数时，国际通用标准叫“弧度制”。在弧度制中，定义 180°=\pi，例如 sin(\pi)=0。

C++ 的三角函数就是用的国际标准弧度制。

求 \pi 可以采用近似值，但更精确的方法是使用 acos(-1)，这就是严格意义上标准的 \pi，但在编程语言中会受数据类型的精度限制。

AC Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const double pi = acos(-1);

void solve()
{
    double r; cin >> r;

    printf("%.6f\n", 17.0 / 2.0 * (r * cos(2*pi / 34)) * (2 * r * sin(2*pi / 34)));
}

signed main()
{
    solve();
    return 0;
}

End

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