八上期中T25还是T几我忘了反正压轴题(3)
Albert_van
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个人记录
RT。疫情卡在家里出不去吃饱了撑的闲得慌，看见我小学同学的这么一篇博客就随便跟着瞎写的。
题目
如图，在 \text{Rt}\triangle ABC 中，\angle A=90^\circ，\angle ABC=60^\circ，D 为 AC 延长线上一点，BC 与 CD 的垂直平分线交于点 E。
（1）
如图，连接 BD，请判断 \triangle BDE 的形状，并说明理由。
（2）
如图，点 F 在线段 DE 上，满足 \angle DFC=\angle CBE， P 为直线 CF 上一动点。当 PE-PD 最大时，PE-PD 与 AB 有怎样的数量关系？请说明理由。
解答
（1） 在 \triangle ABC 中 \angle BCD 为外角，\therefore \angle BCD=\angle A+\angle ABC=90^\circ+60^\circ=150^\circ，
如图连接 CE，则 \angle BCE+\angle DCE=\angle BCD=150^\circ，
$\therefore \angle CBE+\angle CDE+\angle BCD=2(\angle BCE+\angle DCE)=2\times 150^\circ=300^\circ$，
$\therefore$ 在四边形 $BCDE$ 中，$\angle BED=360^\circ-(\angle CBE+\angle CDE+\angle BCD)=360^\circ-300^\circ=60^\circ$，
又 $BE=DE$，$\therefore \triangle BDE$ 为等边三角形。
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**（2）** $\angle CDE=\angle DCE=\angle BCD-\angle BCE=150^\circ-\angle CBE=150^\circ-\angle DFC$，
$\therefore$ 在 $\triangle CDF$ 中 $\angle DCF=180^\circ-\angle DFC-\angle CDF=180^\circ-\angle DFC-(150^\circ-\angle DFC)=30^\circ$。
如图作 $DH\perp CF$ 于 $H$，则在 $\text{Rt}\triangle CDH$ 中 $\angle DCH=30^\circ$，$\therefore CD=2DH$，
如图倍长 $DH$ 至 $K$，则 $DK=2DH=CD$，
$K$ 为 $D$ 关于 $CF$ 的对称点，$\because P$ 为 $CF$ 上动点， $\therefore PD=PK$，$\therefore PE-PD=PE-PK$，
如图连接 $EK$，延长交 $CF$ 于 $P'$，显然 $P$ 位于 $P'$ 即 $E,K,P$ 三点共线时 $PE-PK=PE-PD$ 取得最大值，
此时 $PE-PD=PE-PK=EK$。
$\because \triangle BDE$ 为等边三角形，$\therefore BD=DE$、$\angle BDE=60^\circ$，$\therefore \angle KDE=\angle BCD-\angle BDK=60^\circ-\angle BDK$；
在 $\text{Rt}\triangle CDH$ 中 $\angle CDH=90^\circ-\angle DCH=90^\circ-30^\circ=60^\circ$，$\therefore \angle CDB=\angle CDK-\angle BDK=60^\circ-\angle BDK$，
$\therefore \angle CDB=\angle KDE$，
$\therefore$ 在 $\triangle CDB$、$\triangle KDE$ 中，$\begin{cases}CD=KD\\\angle CDB=\angle KDE\\DB=DE\end{cases}$，$\therefore \triangle CDB\cong \triangle KDE\quad (SAS)$，
$\therefore EK=BC$，$\therefore$ $PE-PD$ 取得最大值时 $PE-PD=BC$，
在 $\text{Rt}\triangle ACB$ 中 $\angle ABC=60^\circ$，$\therefore BC=2AB$，
$\therefore$ $PE-PD$ 取得最大值时 $PE-PD=2AB$。