20200615 一个平凡结论？

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昨晚水讨论区看见 huhao 神仙问了个问题:

\sigma(nm)=\sum_{d\mid nm}d

能不能类似

d(nm)=\sum_{d\mid nm}1=\sum_{x\mid n}\sum_{y\mid m}[\gcd(x,y)=1]

一样分解.

推了十几分钟快推出来的时候有位神仙发了结论

\sigma(nm)=\sum_{d\mid nm}d=\sum_{x\mid n}\sum_{y\mid m}\frac{ny}{x}[\gcd(x,y)=1]

那我也不推了 直接用吧

实际上 1\ast id^k 都是能拆的. 也就是说我们需要用不含 ij 的式子表示

\sigma_k(ij)=\sum_{d\mid ij}d^k

由于这玩意显然积性所以只需要求在素数幂处的答案. 设 i,j 在素数 p 上的幂分别为 e_a,e_b，那么要求的是

\begin{aligned} &\sum_{i=0}^{e_a-1}p^{ik}+p^{ke_a}\sum_{i=0}^{e_b}p^{ik}\\=&\sum_{i=1}^{e_a}p^{k(e_a-i)}+p^{ke_a}\sum_{i=0}^{e_b}p^{ik}\\=&\sum_{i=1}^{e_a}p^{k(e_a-i)}\sum_{j=0}^{e_b}p^{jk}[j=0]+\sum_{i=0}^{e_a}p^{k(e_a-i)}[i=0]\sum_{j=0}^{e_b}p^{jk}\\=&\sum_{i=0}^{e_a}\sum_{j=0}^{e_b}[\min(i,j)=0]p^{k(e_a-i)}p^{kj} \end{aligned}

那么从质因子还原到数上显然就是

\sum_{x\mid n}\sum_{y\mid m}[\gcd(x,y)=1]\left(\frac{ny}{x}\right)^k

居然不很对称 有丶意外