初中数学（计算）常用技巧

## 1. 前言 qaq，是时候对初中数学的**计算题&基础题**做一个总结了吧qaq 点赞就行啦qaq 讲的比较水，不喜勿喷 这里大写的都是普通多项式，即$A_{n\text{可能省略}}=\sum_{i=0}^n a_ix^i$。 若有带其他字母的会在后面加上这个字母，如$Aa$。 方程的关于：若没有写，则顺序为：$x,y,z$（初中就教到三元方程了吧>_<） 可能顺序不是课本顺序QwQ，~~将就看吧~~ ## 2. 初一 ### 2.1 有理数 #### 2.1.1 有理数纯计算方法 - 括号里通分 - 乘方/开方 - 分别整理每一项（$\approx$消括号） - 消负号 - 分别加 - （视情况而定）：（暴力/换方法）验算 ### 2.2 整式 #### 2.2.1 给定$a=f_x,b=g_x...$，求$ja+kb+...$。 - 直接代入 - 拆括号（**注意变号**） - 合并同类项 - 排列 #### 2.2.2 如果$(...)^2+|...|=0$，求$.........$。 ~~不知道出题人怎么想的。~~ - 分别拆出，得到方程 - 解方程 - 化简后面的式子 - 代入求解 **注：若$k^2=0$或$|k|=0$，$k=0$。** #### 2.2.3 现在有$A,B$，且$B$已知，现在计算$A...B$时计算错误变成$A????B$，答案是$C$，求原式子答案。 - $A=C\ nys????\ (B)$（$nys????=????$的逆运算） - $ans=A...B$ #### 2.2.4 Hard:已知$A$，当$x=k$时$A=?$，求当$x=s$时$B$的值。 - $x$代入$A$得到$C$ - 找出$B,C$的关系 - 暴力瞎搞：$B=kC$。 - 将$x$代入求值。 #### 2.2.5 Hard:已知$(K_1)^5=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$。 - $x=-1$求出$-a+b-c+d-e+f=X$ - $x=0$求出$f$ - $x=1$求出$a+b+c+d+e+f=Y$ - $X+Y=2b+2d+2f$ ### 2.2.6 Hard:求$\prod_{i=1}^n (2^i+1)$. - 原式$=(2+1)(2^2+1^2)(2^4+1^4)...(2^{2^n}+1^{2^n})$ - $=(2-1)(2+1)(2^2+1^2)...(2^{2^n}+1^{2^n})$ - $=(2^2-1^2)(2^2+1^2)...(2^{2^n}+1^{2^n})$ - $=(2^{2^n}-1^{2^n})(2^{2^n}+1^{2^n})$ - $=2^{2^{n+1}}-1$ 注：$2-1=1$ ### 2.2.7 （2.2.6的变式）求$\prod_{i=1}^n (1+\frac{1}{2^{2^{n-1}}})$。 - 原式$=2\times(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})...(1+\frac{1}{2^{2^{n-1}}})$ - $=2\times(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})...(1+\frac{1}{2^{2^{n-1}}})$ - $=2\times(1-\frac{1}{2^{2^{n}}})$ - $=2-\frac{1}{2^{2^{n-1}}}$ ### 2.3 一元一次方程 #### 2.3.1 若$x=k$是$...=.....$（有一个其他字母$a$），求$a$。 - 将$x=k$代入 - 解关于$a$的方程 #### 2.3.2 若$...=...$（有一个其他字母$a$）和$...=.....$（有一个其他字母$a$）同解，求$x$。 - 化简两个方程 - 用$1$得到$x$和$a$的关系$x=ka$ - 用$2$得到$x=a+b$ - 将$1$代入$2$ - 得到$a$后求出$x$（或直接得到$x$）。 #### 2.3.3 已知$Aa$和$Ba$，已知$x=2$时$A...B=k$，求当$x=$几时$A+B=0?$ - 将$x$代入求出$a$ - 将$a$代入，解方程。 #### 2.3.4 解猥琐方程：$1/2\{1/3[...]+s\}=k$ - 逐个解括号即可。 - 例： - $1/3[...]+s=2k$ #### 2.3.5 解恶臭方程：长式子 - 先全部整到分母上 - 通分 - 递归求解 #### 2.3.6 恒成立/恒等 - 改成方程标准形式$kx=b$ - $k=0,b=0$，解方程即可。 ---- 下学期喽！ ### 2.4 实数 #### 2.4.1 实数混合计算 - 去括号 - 去分号 - 消根号 - 消负号 - 整合 - 求解 - 验算 #### 2.4.2 Hard:若$...x+...y-...z=0,...x+...y-...z=0$，求$...x-...y-...z$。 - 假设$z$已知。 - 用$z$来表示$x$和$y$。 - 代入后面的式子。 #### 2.4.3 求方案 - 枚举即可 - 注意一些词汇，比如 **$x+y$必须$=10$；总价值小于等于$114514$** 之类 #### 2.4.4 Very Hard:解三元一次方程组 - 化简 - 分别化简到两个二元方程 - 解方程 - 代入 - （最好要做）检验 ### 2.5 不等式 - 同时乘上一个负号时要变向！ ### 2.6 其他 - 初一的直接$\%$你即可。 ## 3. 初二 ### 3.1 整式 #### 3.1.1 比较$a^n,b^m(m,n>a,b)$ - 计算$\gcd(m,n)$。 - 比较$a^\frac{n}{\gcd(m,n)},b^\frac{m}{\gcd(m,n)}$ #### 3.1.2 若$AB=c,$计算$A^2+B^2$. - 设$B=k,A=k+m$。 - 原式$=(k-k-m)^2+2c$. ### 3.2 Philosophy:因式分解 注：这章我会非常认真写。 #### 3.2.1 前置公式 - $a^2+b^2\pm2ab=(a\pm b)^2$ - $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ - $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$ - $(a+ b)^3=(a+ b)(a^2+b^2+2ab)=a(a^2+b^2+2ab)+b(a^2+b^2+2ab)$ - $=a^3+ab^2+2a^2b+a^2b+b^3+2ab^2=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2$（$-$的情况差不多，就不推了） - $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$ - $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ #### 3.2.2 十字相乘法 假设要分解$ax^2+kxy+by^2$。 则我们需要**凑出（只能凑出）**： - $a_1\times a_2=a$ - $b_1\times b_2=b$ - 并且：$a_1b_2+a_2b_1=k$。 - 则原式$=(a_1x+b_1y)(a_2x+b_2y)$。 Ps：[$\text{因式分解：十字相乘法の终极方法}$ ](https://www.luogu.com.cn/paste/ilt7o7or) #### 3.2.3 双十字相乘法 假设要分解$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$。 - 第一步构造十字矩阵： - $\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}$ - 这里的答案是$(a_1x+b_1y)(a_2x+b_2y)$。 - 假设$f=f_1f_2$. - 接下来，我们再构造一个矩阵： - $\begin{vmatrix}a_1x+b_1y&f_1\\a_2x+b_2y&f_2\end{vmatrix}$ - 要求$(a_1x+b_1y)f_1+(a_2x+b_2y)f_2=dx+ey$。 - 答案：$(a_1x+b_1y+f_1)(a_2x+b_2y+f_2)$。 例：因式分解$x^2+2(a+b)x-3a^2+10ab-3b^2$。 - 显然拆开后改写成$-3a^2+10ab-3b^2+2ax+2bx+x^2$（**这里把$x$看成常数**）。 - 先进行第一次分解。 - $\begin{vmatrix}-3&-1\\1&3\end{vmatrix}$（可以手推一遍，更有感觉） - 得到$-3a-b$和$a+3b$。 - 接下来进行第二次。 - $\begin{vmatrix}-(-3a+b)&x\\-(a-3b)&x\end{vmatrix}$（看到$x^2$第一反应$x\times x$）。 - 整理：$\begin{vmatrix}3a-b&x\\3b-a&x\end{vmatrix}$（看到$x^2$第一反应$x\times x$）。 - 答案：$(3b-a+x)(3a-b+x)$ ~~不过这东西太容易错了，我连续两道题都错了~~ #### 3.2.4 待定系数法 假设分解的是$sx^3+tx^2+ux+v$。 假设他的分解因式的结果最多是**一次**。 啊，猥琐 那好，所以我们分解因式的结果**肯定**是…… $$(ax+b)(cx+d)(ex+f)$$ ~~废话~~ 那好，拆开这个式子： $$\text{原式}=(ax(cx+d)+b(cx+d))(ex+f)$$ $$=(ax^2+adx+bcx+bd)(ex+f)$$ $$=aex^3+adex^2+bcex^2+bdex+fax^2+fadx+fbcx+fbd$$ $$=aex^3+(ade+bce+fa)x^2+(bde+fad+fbc)x+fbd$$ $$\begin{cases}s=ae\\t=ade+bce+fa\\u=bde+fad+fbc\\v=fbd\end{cases}$$ 不过确实不好用。 #### 3.2.5 因式定理 若$A(x)=0,$则$x$因式分解后必有因式$x-a$。 - 所以，我们可以发现： - $A_n=kx^n+(...)x+m$ - 这里可以拆$m$的各个因式和$k$的各个因式的商进行代入尝试，若$A(m_i)=0$，则必须有一项$(x-m_i)$。 - 一直试，试到不能再试（其实个人觉得试到二次后直接十字即可）为止。 #### 3.2.6 轮换对称式 若有一个式子，在$x,y...$互换后值不变，那么他就是轮换对称式。 ## 4. More Philosophy:初三 ## 5. 结尾 求赞qaq 其实个人感觉计算主要还是要再计算一遍吧。 送大家一句@GoneTime 的名言： > 一道题，你可以把他水过去，也可以把他一步一步走过去，如果你水平高，甚至还可以直接飞过去；但是，最关键的是——能做对。 所以，我建议各位计算完后，如果有条件，再巧算一遍；巧算完后，如果有条件，再计算一遍。